Il metodo dell’aggiunto combinato a tecniche di mesh morphing per l’ottimizzazione fluidodinamica

Ottimizzazione aggiunta combinata con il mesh morphing

L’ottimizzazione tramite simulazioni CAE (Computer-Aided Engineering) svolge oggi un ruolo centrale in molti ambiti ingegneristici. Essere in grado di offrire soluzioni di progettazione innovative con tecnologie avanzate, efficienti e all’avanguardia, è nello scenario moderno di primaria importanza per le aziende che vogliono competere efficacemente sul mercato [1]. In questo contesto lo sviluppo di algoritmi di ottimizzazione sempre più efficienti rappresenta un aspetto fondamentale di questa ricerca. Da questo punto di vista, il metodo dell’aggiunto ha dimostrato di essere uno dei criteri di ricerca dell’ottimo più promettente. I metodi basati su gradiente [2] si sono distinti come strumenti in grado di esibire buone prestazioni anche in scenari di ottimizzazione caratterizzati da un numero elevato di variabili di progetto. Uno dei loro limiti principali, tuttavia, consiste nella necessità di valutare le derivate parziali della funzione obiettivo rispetto ai parametri di progetto. Se le sensitività non sono fornite dal software di simulazione, è necessario approssimarle con valutazioni alle differenze finite, aumentando in modo significativo il costo computazionale al crescere del numero dei parametri. Nei problemi di ottimizzazione di forma in ambito fluidodinamico, il metodo dell’aggiunto fornisce i valori di sensitività della quantità osservabile in funzione delle coordinate dei nodi della griglia di calcolo, generando quindi indicatori geometrici che forniscono la direzione delle modifiche di forma per il miglioramento delle prestazioni. Il tutto al costo di un singolo calcolo aggiuntivo a valle di una soluzione CFD a convergenza. I metodi di mesh morphing permettono di parametrizzare le modifiche di forma del dominio numerico in funzione di un set limitato di parametri. L’accoppiamento del metodo dell’aggiunto con la parametrizzazione geometrica basata sul mesh morphing rappresenta quindi un approccio estremamente potente nello sviluppo di procedure di ottimizzazione di forma. Il software commerciale ANSYS Fluent fornisce la possibilità di valutare le soluzioni aggiunte e di ottenere i valori di sensitività di quantità osservabili definibili in modo particolarmente flessibile. Il software di mesh morphing RBF Morph1, basato sulle Radial Basis Function (RBF) e disponibile anche come plug-in completamente integrato nell’ambiente Fluent, permette di utilizzare le soluzioni aggiunte calcolate dal solutore CFD per fornire i gradienti della funzione osservabile rispetto ai fattori di amplificazione delle soluzioni RBF che definiscono le modifiche di forma della griglia [3] e che possono quindi definire efficacemente lo spazio delle variabili in un problema di ottimizzazione. La combinazione di queste due tecnologie permette di coniugare le potenzialità dell’algoritmo di ottimizzazione con la flessibilità e l’efficienza della parametrizzazione basata sul mesh morphing [4].

1 www.rbf-morph.com
2 www.esteco.com

Setup della procedura di ottimizzazione
In questo lavoro mostreremo, tramite due esempi applicativi, come impostare un problema di ottimizzazione aggiunto basato sulla parametrizzazione tramite mesh morphing e ne confronteremo le prestazioni nella ricerca dell’ottimo con un approccio più tradizionale basato sugli algoritmi genetici. L’ambiente nel quale sono state sviluppate le procedure è il software commerciale modeFRONTIER2 nel quale ogni algoritmo di ottimizzazione basato su gradiente può leggere direttamente le sensitività in funzione delle variabili di progetto senza richiedere alcuna simulazione aggiuntiva. Quindi, per ogni iterazione dell’algoritmo, tutte le derivate, indipendentemente dal numero dei parametri di forma, sono calcolate al costo di una singola simulazione aggiunta, convergendo verso la potenziale soluzione ottima in un numero globale di valutazioni molto basso.

Ottimizzazione di un diffusore
Il primo caso implementato per testare la metodologia riguarda l’ottimizzazione della forma di un tubo diffusore a U. Le condizioni al contorno consistono nell’imposizione della velocità in ingresso e della pressione statica in uscita. Il flusso è considerato laminare (Reynolds = 500) e incomprimibile. Il setup delle modifiche di forma della griglia è basato sulla definizione di una serie di domini cilindrici sui quali sono distribuiti i punti sorgente dei problemi RBF da implementare (Figura 1).

Per i punti distribuiti su due cilindri posti in prossimità degli estremi del tubo sono imposti spostamenti nulli così da definire fisse nello spazio le geometrie nella zona d’ingresso e di uscita. Tre cilindri allineati con l’asse del tubo costituiscono la base di modifica locale in tre diverse zone del dominio. Ogni cilindro può essere scalato radialmente o allungato longitudinalmente trasferendo localmente la corrispondente deformazione alla geometria. Lo scalamento radiale di un quarto cilindro posizionato nella zona del centro di curvatura del tubo e avente l’asse perpendicolare al piano permette un allargamento globale della zona curva del condotto. Quest’ultimo porta ad un totale di sette il numero dei modificatori di forma. La funzione obiettivo da minimizzare è la caduta di pressione fra ingresso e uscita del tubo. Il processo di calcolo è automatizzato con uno script in linguaggio Scheme nel quale sono riportati in sequenza i comandi per assegnare il valore delle variabili del problema, comandare l’azione di morphing, avviare il calcolo CFD, risolvere la soluzione aggiunta, calcolare i gradienti ed esportare le soluzioni da rendere disponibili al criterio di scelta. L’algoritmo utilizzato con il metodo dell’aggiunto è il B-BFGS, che consiste in una variante vincolata dell’algoritmo Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno, un metodo quasi Newtoniano della classe hill-climbing per risolvere problemi non lineari [5]. Per dimostrare l’efficacia di questa configurazione, lo stesso problema è stato studiato con un approccio più tradizionale utilizzando come algoritmo di ottimizzazione una variante proprietaria basata sugli algoritmi genetici (GA) [6]. Per rendere coerente il confronto è stato impostato, per le due configurazioni di calcolo, un numero totale di iterazioni tale che il tempo complessivo di calcolo sia approssimativamente lo stesso. La soluzione aggiunta richiede dei tempi di calcolo che sono circa il doppio rispetto a quelli di una soluzione fluidodinamica a convergenza. La valutazione di un punto di design per la configurazione aggiunta (calcolo CFD più soluzione aggiunta) costa quindi il triplo rispetto alla valutazione di un candidato nella configurazione di ottimizzazione tradizionale. Da esperienze pregresse [7] si è stimato che per risolvere un problema di 7 variabili con l’approccio GA sono necessarie 20 generazioni popolate di 15 individui portando quindi a 300 il numero complessivo di valutazioni necessarie. Nella configurazione aggiunta abbiamo quindi impostato un limite di 100 iterazioni. Per ridurre la sensibilità ai minimi locali del metodo basato sul gradiente, il ciclo di ottimizzazione con l’aggiunto è stato avviato dalla stessa tabella DoE (Design of Experiments) definita nel ciclo che utilizza il criterio basato sugli algoritmi genetici. Per ogni punto di design della tabella sono state svolte un massimo di sette iterazioni basate sull’aggiunto mantenendo quindi un totale dei tempi di calcolo comparabili con quelli necessari nel ciclo basato sul genetico. In pratica è come se fossero stati svolti 15 cicli di ottimizzazione indipendenti. Questa strategia aiuta il confronto permettendo di valutare quanto costa ovviare al noto limite dei metodi basati sul gradiente rispetto ad un algoritmo capace di investigare efficacemente lo spazio delle variabili ma dispendioso in termini di risorse computazionali.
La Figura 2 riporta le storie di convergenza dei due cicli di ottimizzazione.

Il calcolo con il genetico (grafico in alto) ha fornito un candidato ottimo dopo circa 90 iterazioni ma la valutazione univoca della convergenza richiede circa 200 iterazioni. In buona parte dei 15 cicli basati sul metodo dell’aggiunto invece il limite delle sette iterazioni si è rivelato sufficiente ad indirizzare i calcoli verso l’ottimo (grafico a destra). Per quanto gli ottimi relativi abbiamo delle differenze a seconda del punto di design dal quale si inizializza il gradiente, tutte le soluzioni sono abbastanza vicine all’ottimo assoluto confermando quindi le notevoli prestazioni di questa tecnica di ottimizzazione. I risultati mostrati si possono sintetizzare dicendo che un ciclo di ottimizzazione basato sugli algoritmi genetici ha un costo computazionale circa dieci volte maggiore (200 valutazioni) rispetto ad uno basato sul metodo dell’aggiunto (7 iterazioni che corrispondono a circa il tempo necessario per 20 analisi CFD) con la limitazione tuttavia, da parte del metodo dell’aggiunto, di non fornire garanzie sulla distanza della soluzione generata dall’ottimo assoluto. Valutando invece i tempi impiegati dai due metodi per individuare un ottimo assoluto, il vantaggio del metodo dell’aggiunto si ridimensiona ma il suo costo rimane comunque tre volte minore del costo richiesto dall’approccio tradizionale. Il vantaggio del metodo dell’aggiunto aumenta presumibilmente all’aumentare del numero di parametri in quanto i tempi di calcolo per la soluzione aggiunta non dipendono dal numero delle variabili mentre aumentano linearmente per gli algoritmi evolutivi. Per aggiungere elementi al confronto le analisi sono state quindi ripetute fissando il valore di alcuni parametri, riducendo così in numero di variabili del problema, o aggiungendo modificatori di forma per aumentarne il numero. In Figura 3 i due approcci vengono confrontati in termini di tempo complessivo di simulazione necessario per raggiungere l’ottimo globale. In questo test, pur con qualche differenza, la proporzione fra i costi dei due metodi si mantiene abbastanza simile al variare del numero delle variabili. L’incremento atteso del vantaggio del metodo dell’aggiunto, all’aumentare del numero di parametri, in questo caso è mitigato dalla necessità di ampliare la tabella DoE per esplorare più efficacemente lo spazio delle variabili alla ricerca dei minimi assoluti della funzione obiettivo.

Ottimizzazione del collettore di uno scambiatore di calore

Le conclusioni precedentemente riportate a seguito dell’analisi del caso del tubo potrebbero essere state parzialmente influenzate dalla relativa semplicità del caso in esame. Per questo motivo il metodo dell’aggiunto è stato applicato ad un caso un po’ più complesso: l’ottimizzazione della forma di un collettore di aspirazione di uno scambiatore di calore. La Figura 4 mostra il campo di moto all’interno del collettore nella geometria di riferimento.

Come si può notare, la forma probabilmente non è ottimale in quanto non favorisce una distribuzione uniforme delle velocità all’interno dei dieci condotti (nonostante la portata sembri abbastanza simile); in molti di essi si evidenzia anche una vistosa separazione, fonte di perdite di carico e quindi scarsi rendimenti di scambio termico [7]. Il problema di ottimizzazione è stato quindi impostato definendo come osservabile da minimizzare la sommatoria delle deviazioni standard del campo di velocità all’ingresso dei dieci condotti. Per mantenere la portata ponderale uniforme in tutte le uscite è stato inoltre previsto un vincolo nel quale si impone che la deviazione della portata in ogni condotto rispetto alla portata ponderale media  sia minore di 0.03 Kg/s. La parametrizzazione della forma del collettore è stata definita valutando la sensitività della funzione osservabile rispetto alle deformazioni applicate alla griglia ottenuta con un calcolo aggiunto sulla geometria di riferimento. Le regioni dove la sensitività è alta corrispondono alle zone dove i cambiamenti di forma hanno maggiore influenza sulla funzione osservabile. La Figura 5 riporta a sinistra la mappa delle sensitività e a destra i domini cilindrici sui quali sono stati distribuiti i punti sorgente del setup RBF.

Come si vede le zone più sensibili si trovano nella zona d’ingresso dei dieci condotti e nella regione vicina alla parte inferiore del tubo d’ingresso. Il setup RBF consiste quindi nel controllare la posizione di dieci set di punti sorgente nelle zone d’ingresso dei condotti (non riportati nella figura), quella dei punti distribuiti su un cilindro vicino la parte bassa del tubo d’ingresso e di altri due set di punti distribuiti su due cilindri nella zona alta del collettore che controllano la forma della zona più esterna. La parametrizzazione geometrica completa è definita tramite 23 fattori di amplificazione di altrettante soluzioni RBF combinabili fra loro che costituiscono le variabili del problema di ottimizzazione di forma. La procedura di ottimizzazione che è stata implementata per il collettore è simile a quella utilizzata nello studio del tubo riportato precedentemente. Per accelerare la convergenza, il processo in questo caso è stato però suddiviso in due fasi. Nella prima fase sono state considerate solo tre variabili che controllano la forma esterna del collettore. Con questa configurazione l’algoritmo B-BFGS ha raggiunto la convergenza dopo 15 iterazioni con una riduzione della funzione obiettivo nell’ordine del 20%. La migliore configurazione trovata è stata utilizzata come punto di partenza per la fase successiva nella quale sono stati attivati i 20 parametri che controllano la forma dell’ingresso dei dieci condotti. Dopo altre 30 valutazioni il design è stato ulteriormente migliorato raggiungendo una riduzione di oltre il 36% del valore dell’osservabile rispetto alla configurazione di base, sempre rispettando il vincolo dell’uniformità della portata ponderale nei vari condotti. La Figura 6 riporta la mappa delle velocita nel collettore ottimizzato.

Le separazioni all’interno dei condotti non sono state eliminate ma sono state significativamente ridimensionate. La soluzione ottenuta conferma quanto elevato sia l’impatto delle separazioni sulle perdite di carico e suggerisce l’esistenza di ulteriori margini di miglioramento nel caso esista la possibilità di agire sulla topologia o rilassando i vincoli geometrici che hanno, nel caso in esame, fortemente limitato gli spazi di manovra disponibili per le modifiche geometriche nella zona d’ingresso dei condotti.

Conclusioni

In questo lavoro è stata descritta una procedura di ottimizzazione numerica basata sul metodo dell’aggiunto accoppiata ad una parametrizzazione geometrica che utilizza tecniche di mesh morphing basate sulle Radial Basis Function. Questo approccio si candida ad essere una metodologia di progettazione CAE estremamente promettente in quanto coniuga l’efficienza degli algoritmi basati sul gradiente che sfruttano la soluzione aggiunta, con i vantaggi, in termini di robustezza di calcolo e flessibilità di implementazione, legati alla parametrizzazione RBF della griglia di calcolo. Le prestazioni di questa configurazione di calcolo sono state verificate applicando il metodo a due problemi fluidodinamici di ottimizzazione di forma e confrontandone le soluzioni con quelle di un approccio più tradizionale basato sull’utilizzo degli algoritmi genetici come criterio di scelta nella ricerca dell’ottimo. La scelta del confronto con gli algoritmi genetici è stata dettata dall’intenzione di valutare anche il costo computazionale aggiuntivo necessario ad un calcolo basato sul criterio del gradiente per individuare l’ottimo globale svincolandosi dal limite della sensibilità ai minimi locali. Le conclusioni sono che un ciclo di ottimizzazione che utilizza il metodo basato sull’aggiunto ha per le applicazioni considerate in questo articolo un costo computazionale fino a dieci volte minore rispetto ad uno che utilizza gli algoritmi genetici, per giungere a piena convergenza. Per giungere a una soluzione vicina all’ottimo globale il metodo dell’aggiunto mantiene ancora un vantaggio di circa un terzo delle risorse computazionali necessarie rispetto al genetico. In generale, lo studio ha dimostrato quanto l’utilizzo del metodo dell’aggiunto sia un approccio altamente competitivo, soprattutto in termini di costi di calcolo, rispetto alle procedure di ottimizzazione più tradizionali.

Bibliografa

Tormanen M., “Effective Optimization in Early Development Phases”, Procs. of ESTECO International Users Meeting, May 2018.
Yuan, Ya-xiang, “Step-sizes for the gradient method”, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society. 42 (2): 785, 1999.
Biancolini M.E., “Fast radial basis functions for engineering applications”, Springer, 2018. Chapter 8 “Adjoint Sensitivities and RBF Mesh Morphing” pp. 137-174.
Biancolini ME, “How to boost fluent adjoint using RBF morph”. In: Automotive simulation world congress 2014, 9-10 October, Tokyo, Japan, 2014.
Fletcher R., “Practical methods of optimization (2nd ed.)”, New York: John Wiley & Sons, 1987.
Poloni, C. and Pediroda, “GA coupled with computationally expensive simulations: tools to improve efficiency” In D. Quagliarella, J. Périaux, C. Poloni, and G. Winter (Eds.), Genetic Algorithms and Evolution Strategies in Engineering and Computer Science. Recent Advances and Industrial Applications (pp. 267–288), John Wiley & Sons, 1998.
R. Russo, E. Nobile, P. Ranut, “modeFRONTIER for Virtual Design and Optimization of Compact Heat Exchangers”, Conference Paper in SAE Technical Papers, October 2014.

*ESTECO Spa. Email: engineering@esteco.com
**Università di Trieste. Email: nobile@units.it
°Università di Roma “Tor Vergata”. Email: biancolini@ing.uniroma2.it
°°Design Methods. Email: ubaldo.cella@designmethods.aero

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