Periodico bimestrale
Anno XIX, numero 87
Lug./Ago. 2018
ISSN 1128-3874
METODOLOGIA

L’acquario virtuale: modellare e simulare il nuoto di un pesce

MMichele Curatolo, Luciano Teresi

La “Soft robotics”, e in particolare il mondo dei pesci-robot, è un’importante area di ricerca con ricadute nei settori della biomeccanica e della modellazione matematica.
Il nostro obiettivo è mettere a punto un ambiente di simulazione capace di riprodurre il nuoto di un pesce. Il modello comprende un solido iper-elastico capace di grandi deformazioni e un acquario virtuale dove il pesce è immerso.
La forma del pesce è controllata assegnando un campo di distorsioni (dette anche pre-deformazioni) che simula la contrazione muscolare; in questo modo, viene enfatizzato il ruolo cinematico dei muscoli, la produzione di movimento, piuttosto che quello dinamico, la produzione di forze. In particolare, il “morphing” del solido è ottenuto assegnando una forma “target” con le distorsioni; questo metodo appare molto più efficace del controllo di forma ottenuto per mezzo di forze.
L’implementazione 2D del modello è stata effettuata con il software COMSOL Multiphysics che utilizza tecniche avanzate quali una griglia mobile e la sua rigenerazione durante la simulazione. I risultati delle simulazioni mostrano un buon accordo con i dati sperimentali. Il modello è disponibile per il download [8].

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1. Introduzione

Simulare un problema di interazione tra un fluido e un solido è essenziale per capire come progettare strutture e dispositivi in diversi ambiti dell’ingegneria da quella robotica a quella bio-medicale.  Le applicazioni sono tantissime; dall’ottimizzazione della forma di un profilo alare allo studio dei flussi sanguigni legati alle contrazioni del cuore [1, 2].
Negli ultimi anni, quello che in gergo viene chiamato “soft robotics”, ovvero lo studio dei robot costruiti con materiali soffici e capaci di grandi deformazioni, ha avuto una notevole espansione sia nella comunità scientifica che in quella industriale. Tra i progetti più interessanti vi sono quelli relativi ai pesci-robot soffici, capaci di imitare in modo molto realistico il nuoto di un pesce [3]. Ma come nuota un pesce e come si possono progettare questi robot?
Per rispondere a queste domande è stato sviluppato un modello matematico, [4, 5], che viene poi risolto con il metodo degli elementi finiti utilizzando l’ambiente di simulazione COMSOL; altre informazioni, insieme al modello completo, si trovano in [7, 8].
Un aspetto importante della nostra modellazione è la capacità di produrre grandi variazioni di forma in un solido elastico; questo punto particolarmente importante per i materiali soffici in generale, diventa cruciale nel settore della “soft robotics”. Il problema della generazione di forme diverse, detto “morphing”, viene risolto utilizzando la nozione di distorsione (detta anche pre-deformazione); questo metodo è più semplice e sicuramente molto più versatile rispetto a quanto viene generalmente fatto, ossia, deformare i solidi elastici applicando forze opportune.
Un altro punto importante è l’interazione solido-fluido, in cui il solido non solo si deforma, ma “nuota” nel fluido cambiando posizione. Questo aspetto viene gestito dall’interfaccia COMSOL dedicata alla Fluid-Structure Interaction, insieme alla possibilità di: 1) deformare il reticolo di calcolo per seguire il movimento flessionale del pesce (moving-mesh); 2) rigenerare completamente il reticolo per seguire il nuoto del pesce quando la deformazione del reticolo diventa eccessiva (remeshing).

2. Modellazione e simulazione

Il nostro modello è 2D e comprende un acquario rettangolare e un forma racchiusa da una curva atta a rappresentare i contorni di un pesce (Figura 1). 

 

Figura 1. La geometria del modello.

Il solido è suddiviso in zone con rigidezze diverse. In particolare, una zona più rigida che rappresenta lo scheletro o la lisca del pesce, e due zone più soffici che rappresentano i muscoli bianchi, molto usati durante le accelerazioni iniziali, e i muscoli rossi, molto usati quando si raggiunge una velocità di crociera.
Nel dominio di calcolo vengono risolte le equazioni della fluido-dinamica (modello di Navier-Stokes), le equazioni della meccanica dei solidi (modello iper-elastico, non lineare, con grandi distorsioni) e le equazioni per gestire la deformazione della griglia di calcolo (formulazione ALE). Il solido, nel nostro caso un pesce, è capace di deformare il proprio corpo accorciando in modo alternato i muscoli ai lati dello scheletro. L’intensità e le modalità con cui vengono attivati i muscoli denotano la capacità del pesce di nuotare più o meno velocemente.

2.1 La contrazione muscolare

Nel pesce reale la contrazione muscolare viaggia dalla testa alla coda come un’onda [6] e si alterna tra i due lati del pesce: quando i muscoli sono accorciati attivamente da un lato, si allungano passivamente dal lato opposto, opponendo una minima resistenza all’allungamento. Queste contrazioni che viaggiano e si alternano sui due lati producono il movimento flessionale con il quale il pesce nuota; tale meccanismo viene replicato all’interno del nostro modello assegnando una distorsione che si propaga nel tempo e nello spazio proprio come un’onda (Figura 2).

 

 

Figura 2, sinistra. Il pesce è modellato come un solido elastico composto di diversi materiali; nella configurazione di riferimento (1) abbiamo: scheletro con alta rigidezza (grigio scuro); muscoli bianchi con bassa rigidezza (grigio chiaro), muscoli rossi con bassa rigidezza (verde). Nelle nostre simulazioni vengono attivati soli i muscoli rossi. Le configurazioni (2~4) mostrano la contrazione muscolare che viaggia dalla testa alla coda producendo il movimento flessionale del pesce. Destra - La figura mostra nel piano (x,t) la configurazione del pesce a diversi istanti e la sua posizione; si osserva come al passare del tempo il pesce avanzi da sinistra verso destra. La mappa colore mostra l’intensità della  contrazione muscolare.

2.2 L’accoppiamento Fluido-Struttura

 

2.3 La simulazione del nuoto

Il pesce all’istante iniziale è completamente fermo e a riposo. All’istante successivo i muscoli cominciano ad attivarsi e il pesce si muove liberamente in avanti raggiungendo dopo un intervallo di tempo una velocità media costante (Figura 4).

Figura 4. Fotogrammi del pesce che nuota presi a diversi istanti. Una lunga scia di vortici viene generata dal nuoto. La linea nera mostra la traiettoria della coda. Osserviamo che il pesce inizia a nuotare verso il basso, un effetto causato dai primi battiti della coda, e cambia direzione in prossimità del bordo (a causa delle interazione fluido-dinamiche con la parete).
Il modello permette di analizzare il modo in cui si sviluppa il movimento natatorio, e l’evoluzione dei vortici a partire dal primo battito della coda; tale battito crea una scia di vortici che determina e influenza la velocità e la “fatica” con le quali il pesce nuota (Figura 5).

 

Figura 5. Zoom del battito di coda di un pesce. La figura mostra i primi vortici in prossimità della coda e il loro distacco. Si può notare l’accelerazione del pesce osservando la traiettoria della coda (linea nera): i picchi inizialmente  molto ravvicinati si diradano con il passare del tempo; quando la distanza tra due picchi rimane costante il pesce ha raggiunto una velocità stazionaria.

L’intensità dell’accorciamento dei muscoli è indicato con la mappa dei colori.Vengono simulate diverse condizioni di accorciamento in termini di lunghezza d’onda della contrazione e frequenza per determinare le caratteristiche ottime per ottenere la massima velocità all’interno di un acquario. Quello che viene osservato è che con frequenze e lunghezze d’onda più grandi si ottengono velocità di crociera più elevate. Un risultato interessate si ottiene osservando la relazione tra numero di Reynold e Swimming number (Figura 6), dove viene anche mostrata la definizione dei due numeri adimensionali.

 

Figura 6. Il diagramma in basso a destra mostra la relazione che sussiste per gran parte dei nuotatori tra il numero di Reynolds e lo Swimming number (vedi definizioni a sinistra). Le nostre simulazioni sono in grado di produrre nuotatori compresi nel diagramma; in particolare, si mostrano 9 punti ottenuti con simulazioni caratterizzate da diverse frequenze del moto ondulatorio e diverse lunghezze d’onda, i cui valori sono riportati nell’inserto in basso a destra (punti blu=prima colonna, punti arancio=seconda colonna, punti verdi=terza colonna). In alto si riportano i diagrammi della spinta (T=trust), della resistenza (D=drag) e della forza netta (Fnet) al variare del tempo per le tre simulazioni con f=4 Hz e le tre diverse lunghezze d’onda.

Per gran parte dei nuotatori, riportando i valori dei due numeri in un diagramma log-log, si ottiene una relazione lineare. Variando i parametri del modello è possibile simulare diversi stili di nuoto che si collocano in punti diversi del diagramma.

2.4 La griglia mobile e la rigenerazione della griglia

Per ottenere questi risultati è stata utilizzata una particolare formulazione indicata comunemente con l’acronimo ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) che permette di tenere conto della deformazione del dominio fluido a causa dei movimenti del pesce. Le equazioni vengono quindi risolte su un reticolo che cambia nel tempo. Nel caso di deformazioni eccessive del reticolo (Figura 7) è opportuno rigenerare ogni volta un nuovo reticolo adatto alla deformazione che è stata ottenuta.

Il nostro modello è quindi validato attraverso il confronto con relazioni empiriche come ad esempio una relazione lineare tra velocità di crociera e frequenza del battito della coda [6].

 

 

Figure 7. Gli elementi del reticolo sono molto fitti in prossimità del bordo e si diradano allontanandosi da esso; inoltre, gli elementi vengono deformati per seguire il movimento del pesce (vedi i due pannelli in alto). Nel caso in cui la deformazione del reticolo diventa molto grande, creando elementi troppo distorti e di bassa qualità, la simulazione si arresta e l’ultima configurazione risolta viene usata per rigenerare un nuovo reticolo. In questo modo attorno al pesce è sempre presente un reticolo di buona qualità (vedi i due pannelli in basso).


3. Conclusioni

Diverse sfide per il nuoto dei pesci in ambito di analisi e calcolo sono ancora aperte; ad esempio mettere a punto simulazioni 3D utilizzando la stessa tecnica, oppure indagare l’effetto delle pareti sull’efficienza del nuoto, o le interazioni tra più pesci che nuotano uno accanto all’altro.
I vantaggi di un modello matematico e computazionale capace di descrivere il nuoto di un pesce sono molteplici; tra i più importanti, l’economicità dello studio e la facile parametrizzazione che rende un modello particolarmente utile per capire i fattore determinanti per eventuali ottimizzazioni. La complessità e la multidisciplinarità di questi problemi rappresentano un terreno fertile per la nascita di nuove strategie di modellazione e simulazione ricche di innovazione e applicazioni.
Riferimenti

[1] Jameson, Antony. “Time dependent calculations using multigrid, with applications to unsteady flows past airfoils and wings.” 10th Computational Fluid Dynamics Conference. 1991.

[2] De Hart, J., et al. “A three-dimensional computational analysis of fluid–structure interaction in the aortic valve.” Journal of biomechanics 36.1 (2003): 103-112.

[3] Marchese, Andrew D., Cagdas D. Onal, and Daniela Rus. “Autonomous soft robotic fish capable of escape maneuvers using fluidic elastomer actuators.” Soft Robotics 1.1 (2014): 75-87.

[4] Curatolo, M., and L. Teresi. “The Virtual Aquarium: Simulations of Fish Swimming.” (2015).

[5] Curatolo, M., and L. Teresi. “Modeling and simulation of fish swimming with active muscles.” Journal of theoretical biology 409 (2016): 18-26.

[6] Videler, John J. Fish swimming. Vol. 10. Springer Science & Business Media, 1993.

[7] https://www.comsol.com/blogs/studying-the-swimming-patterns-of-fish-with-simulation/

[8] Download the model https://www.comsol.it/community/exchange/501/

 

The virtual aquarium: modeling and simulation of a swimming fish

Abstract

Soft robotics, and in particular, fish-robotics is an important area of research, with relevant connections with biomechanics, control theory and mathematical modeling.
Our goal is the development of a simulation framework capable of reproducing the key features of the carangiform swimming. Our model includes a hyper-elastic solid undergoing large deformations, representing the fish, plus the surrounding fluid, and the moving-mesh strategy to couple fluid-dynamic with solid mechanics.
We control the shape of the fish by assigning a time varying distortion field (aka pre-strains), meant to represent the activation of muscles, and emphasizing the kinematical role of muscles, the generation of movement, rather than the dynamical one, the production of force. Thus, the morphing of the elastic solid is achieved by prescribing a target shape through distortions, a novel method which appears to be much more efficient with respect to the shape-control done by means of varying forces.
Here, we present a 2D implementation of the model done by using COMSOL Multiphysics and exploiting the Fluid-Structure Interactions, the moving mesh and the remeshing techniques. We found a great accordance between our results and actual quantitative data. The complete model has been put at disposal by the authors, and can be downloaded from [8].

 

Gli autori

Michele Curatolo

Dip. Ingegneria, Università Roma Tre.

 

Luciano Teresi

Dip. Matematica & Fisica, Università Roma Tre

 

 

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