L’irraggiamento tra solidi è ora affrontabile

L’irraggiamento termico è la radiazione emessa da un corpo a causa della propria temperatura, ed è uno dei modi attraverso il quale i solidi possono trasferire calore.
In alcuni processi industriali questo fenomeno fisico riveste un ruolo di grande importanza: ne sono un esempio in ambito di fonderia il cosiddetto investment casting o la colata in gravità per applicazioni aerospaziali avanzate, dove lo stampo appena riempito viene lentamente fatto scorrere all’interno di un forno refrigerante che lo porta a solidificazione. In generale, si può trovarne applicazione ovunque ci siano impianti termici e frigoriferi la cui azione radiante non risulti irrilevante.
Queste categorie di processi richiedono che tale fenomeno sia incluso tra i principali modelli fisici nella fase di modellistica e di simulazione numerica.
Il lavoro svolto da XC Engineering, società attiva nel settore del calcolo numerico e dotata di grande esperienza nella dinamica dei fluidi in approccio multi-fisico, è stato dunque quello di sviluppare un modello matematico-fisico che permettesse, sotto ipotesi ragionevoli, di simulare l’irraggiamento tramite l’uso di FLOW-3D, noto software commerciale per la fluidodinamica computazionale targato Flow Science, e FLOW-3D Cast, simulatore di processi di fonderia derivato dallo stesso FLOW-3D.
Concepiti nativamente transitori e a superficie libera, arricchiti da una convalidata struttura multi-fisica e dalla possibilità di personalizzazione, questi software possiedono esclusivi performanti algoritmi che permettono accuratezza ed elevata efficienza computazionale e si prestano ad essere ampliati con innovativi modelli fisici.

IL MODELLO FISICO DELL’IRRAGGIAMENTO TRA SOLIDI

Nei comuni casi realistici risulta una buona ipotesi l’assunzione di trattare con corpi grigi, diffusi e opachi, ovvero in grado di riflettere parte della radiazione incidente, che irradiano in ugual modo in ogni direzione e che non trasmettono la radiazione al loro interno.
Sotto queste ipotesi, il parametro principale nella trattazione del problema è l’emissività totale ε. Proprietà fisica del materiale, essa rappresenta il rapporto tra la componente di radiazione emessa dal corpo e la componente di radiazione emessa alla medesima temperatura da un corpo nero (ovvero un corpo che emette ed assorbe la massima quantità possibile di radiazione per ogni temperatura e per ogni lunghezza d’onda).
Oltre che dalle proprietà termiche e radiative, lo scambio di temperatura per irraggiamento tra due superfici dipende anche dal loro relativo orientamento (Figura 1).

Ciò è descritto da una proprietà geometrica adimensionale e normalizzata, denominata fattore di vista, che descrive la frazione di radiazione emessa dalla prima superficie i che è direttamente incidente sulla seconda j, ed è calcolata attraverso la seguente formula

che dipende dalle aree, dalla distanza tra i centri delle superfici e dalle angolazioni.
Le altre grandezze considerate sono la radianza, la potenza termica netta totale e quella tra due singole facce.
Queste vengono messe in relazione tra loro attraverso equazioni lineari, combinando le quali si ricava il sistema lineare delle equazioni dei corpi grigi, che, accoppiato con il sistema delle equazioni di bilancio termico, permette la descrizione del problema.
Il modello numerico sviluppato risolve questi sistemi, tenendo inoltre conto della presenza di ostacoli tra le varie superfici.
Il costo computazionale (in termini di tempo di risoluzione e di occupazione di memoria) che si è evinto da una prima implementazione ha richiesto lo sviluppo di una strategia che permettesse con minima perdita di accuratezza una risoluzione decisamente più rapida e una memoria occupata nettamente inferiore: si tratta del clustering, ovvero della scelta da parte dell’utente di raggruppare più superfici radianti dello stesso corpo in uniche superfici aventi proprietà omogenee, denominate clusters, regolando l’approssimazione attraverso la loro estensione e angolatura.
Il nuovo modello di irraggiamento è applicabile anche ad oggetti mobili, così come avviene per i differenti moduli fisici utilizzabili in FLOW-3D e FLOW-3D Cast.
Diversi opzionali parametri, inoltre, sono messi a disposizione dell’utente per il trade-off tra velocità computazionale e accuratezza. Il numero di parametri obbligatori è invece minimo, favorendo la facilità dell’utilizzo da parte dell’utente.

DUE ESEMPI DI APPLICAZIONE

A titolo di esempi qualitativi sono qui riportati due casi applicativi nel settore della fonderia.
Nel primo (basato sul lavoro di A.S. Sabau, Numerical Simulation of the Investment Casting Process, 2005), rappresentativo di una simulazione di una colata in gravità, consideriamo lo stampo in Figura 2, costituito da un bacino di colata in cui il metallo è versato, da dei canali di colata semplificati e da due piastre che vengono riempite attraverso di essi.

Lo stampo, raffreddato a temperatura ambiente, ha una temperatura di 450°C ed emissività pari a 0.7. Il metallo invece è una lega di alluminio e ha una temperatura iniziale di 630°C.
In Figura 3 si può osservare un risultato della simulazione numerica di solidificazione, dove uno degli agenti dominanti è la radiazione termica.

A sinistra è stato incluso il modello di irraggiamento, mentre a destra è assente. Il profilo di temperatura del solido mostrato nell’immagine presenta delle differenze nei due casi: è possibile notare gli effetti dovuti alla modellistica dei fattori di vista e degli ostacoli, riuscendo ad individuare le zone maggiormente in ombra (e dunque con una minore variazione di temperatura) e le zone più soggette all’irradiazione (con una variazione di temperatura più elevata). Con il modello di radiazione attivato, infatti, la piastra centrale tende a rimanere più calda poiché non è in grado di cedere efficacemente il calore all’ambiente circostante e, anzi, tende ad essere mantenuta ad alte temperature dalle parti di stampo vicine.
Nel secondo caso, invece, consideriamo il processo di Bridgman-Stockbarger: questa tecnica è principalmente usata per la solidificazione controllata di pezzi e lingotti monocristallini o la solidificazione di lingotti policristallini. Essa prevede l’utilizzo di un forno con tre zone di temperatura separate: la zona più alta avente la temperatura superiore al punto di fusione del materiale che si vuole cristallizzare, la zona più bassa con temperatura inferiore al punto di solidificazione e una zona adiabatica tra le due. Il materiale fuso viene inizialmente versato in uno stampo sospeso nella parte più alta del forno, che poi viene lentamente traslato all’interno delle zone più fredde fino alla sua completa solidificazione, ottenendo così delle zone di reticolo cristallino (grani) allineate o una struttura monocristallina.
Nel nostro caso semplificato consideriamo un forno cilindrico di acciaio, con emissività pari a 0.8. La zona fredda del forno ha una temperatura di 300°C, mentre quella calda si trova a 1550°C. La zona adiabatica è trascurata.
La temperatura dello stampo è di 1530°C, mentre l’emissività è 0.4. Il metallo al suo interno è una lega di Nickel a una temperatura iniziale di 1525°C. Uno schema è mostrato in Figura 4.

Durante il riempimento dello stampo il metallo fuso si trova nella camera più calda. Una volta terminata questa fase lo stampo è traslato verso il basso a velocità costante, dando inizio alla solidificazione controllata.
In Figura 5 è mostrato un istante della simulazione numerica.

Dopo mezz’ora il pezzo si trova all’incirca per metà all’interno della camera fredda e per metà in quella calda; il livello di discontinuità blu-rosso nella barra centrale indica infatti il livello di separazione delle due camere. Il campo termico in fase di solidificazione è determinato in maniera rilevante dall’irraggiamento, unitamente al contributo dovuto al trasferimento di calore tra le pareti dello stampo e la lega e al contributo relativo alla conduzione termica.
La frazione solida di metallo rappresentata nella parte sinistra dell’immagine mostra la parte inferiore del pezzo completamente solidificata, la parte superiore ancora totalmente liquida e una ristretta parte centrale in uno stato intermedio parzialmente solidificato.
La temperatura dello stampo è presentata nella parte destra: si osserva che, come ci si attende, essa è più bassa nella parte inferiore ed aumenta con la quota.

CONCLUSIONI

Il nuovo modello di irraggiamento del calore di FLOW-3D è attualmente in grado di fornire buoni risultati descrivendo con precisione (considerando corpi grigi, fattori di vista, ombre e ostacoli) il fenomeno fisico ed è dotato di accorgimenti che permettono all’utente di bilanciare accuratezza e tempi computazionali.
L’applicazione del modello a problemi ingegneristici industriali rende possibile dal punto di vista numerico uno studio più veritiero del comportamento termico dei corpi, il quale a sua volta impatta sulla dinamica dei fluidi influenzando elementi rilevanti nella fase di produzione, come, ad esempio, la presenza di difetti nel processo di solidificazione.

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