Le non linearità geometriche e i grandi spostamenti
Francesco Palloni
La terza ipotesi alla base del calcolo lineare è quella dei piccoli spostamenti, secondo la quale il calcolo delle sollecitazioni avviene sulla geometria della configurazione indeformata. Può succedere che questa ipotesi non venga verificata nella realtà e quindi occorre introdurre nel modello gli effetti dei grandi spostamenti. Questo succede nei seguenti casi:
Large Displacements, quando la deformazione sposta il punto di applicazione del carico rispetto alla configurazione indeformata.
Follower Forces, quando la deformazione modifica la direzione del carico rispetto alla configurazione indeformata.
Stress Stiffening & Softening. In generale lo stato di sollecitazione introduce sempre un effetto di irrigidimento (stress stiffening) o di rammollimento (stress softening). Ad esempio la corda di una chitarra è un caso di stress stiffening in quanto aumenta la sua rigidezza flessionale a causa dello stato di trazione. Una analisi FEM non lineare permette di considerare l’incremento o la riduzione di rigidezza dovuta allo stato di sollecitazione.
Buckling non lineare. Lo stress softening si può manifestare ad esempio con l’instabilità elastica e il Buckling prodotto da uno stato di compressione. Oltre il collasso della struttura, può darsi che questa comunque riesca a trovare una nuova configurazione di equilibrio in grado di sostenere anche carichi di maggiore intensità. In questo caso i fenomeni prendono vari nomi in base alla storia di carico: in generale si parla di Post Buckling, di Snap-Through, o di Snap-Back, …
Large Displacements
Facciamo un caso molto semplice, una trave a mensola con un carico di flessione e compressione all’estremità.
La trave è lunga un metro, il punto di applicazione del carico è spostato di 300mm rispetto all’asse della mensola, la sezione resistente è un tubo quadro 50x50 spessore 5mm, il carico sono 30kN applicati come rappresentato in Figura 1.
La deformazione è quella in figura. Si apprezza come il punto di applicazione del carico si sia spostato, aumentando il braccio della forza rispetto al vincolo di incastro. Se analizzando la medesima trave con un calcolo non lineare attivando le non linearità geometriche, otteniamo un risultato simile ma quantitativamente diverso.
Lo spostamento del punto di applicazione del carico è maggiore rispetto a quello prodotto dal calcolo lineare passando da 88mm a quasi 105mm (+19%), e le sollecitazioni crescono da circa 765MPa a 971MPa (+27%).
Ci si rende subito conto che, in questo contesto, l’utilizzo di un calcolo lineare porta a sottostimare deformate e sollecitazioni, con implicazioni dolorose sul progetto.
Follower Forces
Prendiamo una mensola, stavolta soggetta a un carico di pressione uniforme. Anche in questo caso, il calcolo lineare ci dà una risposta calcolata con l’ipotesi dei piccoli spostamenti.
Nella realtà, siccome la pressione è un carico ortogonale alla superficie, se la superficie si deforma cambia anche la direzione delle forze locali e, in definitiva, le forze risultanti sul sistema. Infatti se andiamo a vedere la deformata, per prima cosa ci accorgiamo che il calcolo lineare non considera un effetto del second’ordine come lo spostamento dell’estremità della mensola in direzione assiale, che è invece catturato dal calcolo non lineare. Inoltre la rotazione degli elementi all’estremità comporta una rotazione delle forze che agiscono sugli stessi, modificando il momento risultante all’incastro, determinando uno stato di sollecitazione leggermente diverso.
In questo caso specifico, illustrato in Figura 2, è meno evidente l’impatto delle follower forces, in quanto le variazioni rispetto al caso lineare sono minime.
L’esempio ci ha comunque aiutato a inquadrare il fenomeno.
Buckling non lineare
Il terzo fenomeno (o per meglio dire classe di fenomeni) di non linearità geometriche sono quelli che contemplano l’instabilità elastica del sistema. Questa instabilità può essere di tipo catastrofico, come nel caso del carico di punta. Nel carico di punta di una trave, dopo aver superato il carico limite di instabilità, la struttura non è più in grado di sostenere incrementi di carico e collassa.
Esistono però anche altri casi in cui, dopo aver superato il limite, il sistema raggiunge una nuova configurazione di equilibrio stabile. Si parla in questo caso di simulare i fenomeni che avvengono durante e dopo il buckling. L’etichetta che appiccichiamo al fenomeno è Post Buckling. All’interno del Post Buckling poi ci sono varie categorie.
In Figura 3 si vede un esempio di Snap-Thru. La struttura è costituita da due aste, incernierate al vertice e soggette a un carico verticale. La curva nera rappresenta l’andamento del legame tra carico e spostamento del punto di applicazione della forza, con deformazione imposta. Si apprezza che, all’aumentare della deflessione, la curva presenta tratti con pendenza (rigidezza) negativa. La curva blu invece rappresenta il comportamento effettivo della struttura all’aumentare del carico.
Quando il carico raggiunge il limite di elasticità, il punto di applicazione del carico si sposta di scatto su un nuovo tratto a rigidezza positiva (che si trova al di sotto dei vincoli) e di lì riesce a sopportare ulteriori incrementi di carico. Questo fenomeno prende appunto il nome di Snap-Thru. La nuova configurazione geometrica è un punto di equilibrio stabile, in quanto se rimuovo il carico, il punto rimane in quiete.
Un altro caso, che conosciamo tutti, è quello della capsula delle conserve. Se premiamo il pulsante sulla capsula, si crea una situazione simile alla precedente: per un carico molto basso si sente il click dello Snap-Thru e il raggiungimento di una nuova condizione di equilibrio. Stavolta però, rimuovendo il carico, il sistema di forze interne tende a riportare nella posizione iniziale il pulsante e si parla di Snap-Back.
Esempio, un recipiente in pressione
Non sempre l’analisi non lineare con l’effetto dei grandi spostamenti risulta in un peggioramento della situazione rispetto al calcolo statico lineare.
In Figura 4 è mostrato il modello di un recipiente in pressione con pareti piatte e spigoli raccordati. Il modello è stato analizzato sfruttando i piani di simmetria. Dai risultati è evidente come lo stato di sollecitazione determinato dal calcolo non lineare risulti del inferiore di quasi il 10% rispetto al calcolo lineare. In questo caso l’effetto delle non linearità geometriche è risultato benefico, aiutando la verifica della struttura.
Conclusioni
In questa serie di articoli abbiamo provato a fare un po’ di chiarezza sulle principali sfide offerte dalla modellazione non lineare dei fenomeni strutturali. Abbiamo visto come la linea di demarcazione tra fenomeni lineari e non lineari sia molto sottile e come spesso il progettista debba decidere autonomamente quale dei due approcci utilizzare nella realizzazione di un modello ad elementi finiti.
In prima battuta, la soluzione più immediata sarebbe quella di eseguire sia la verifica lineare che quella non lineare, e comparare i risultati. Questo non solo aiuta a comprendere meglio il comportamento del sistema, ma può servire a rivelare delle non linearità che non erano state inizialmente previste e che possono condurre ad una soluzione costruttiva più sicura ed ottimizzata. Spesso, però questo approccio risulta troppo oneroso in termini di tempi di calcolo e si preferisce eseguire un calcolo non lineare soltanto quando è effettivamente necessario. Nelle analisi agli elementi finiti è stato definito un insieme di criteri standardizzati con i quali è possibile comprendere se gli effetti di non linearità debbano essere considerati per un particolare modello. Quando uno o più di questi criteri è verificato, diventa necessaria un’analisi non lineare per simulare accuratamente il comportamento reale del progetto.
Si è visto che gli effetti delle non linearità possono essere raggruppati in tre diverse sottocategorie: problemi di contatto, effetti dovuti alle non linearità del materiale, fenomeni dovuti ai grandi spostamenti.
Domande e Risposte
Posso utilizzare tutti gli elementi di Nastran per le analisi con i large displacements?
La risposta è no! Non tutti gli elementi della libreria di Nastran supportano le analisi geometricamente non-lineari. Ci sono elementi come le BAR, oppure gli elementi cinematici come gli RBE2 e RBE3 che non adattano la propria matrice durante l’analisi, pertanto possono portare a errori perché Nastran comunque esegue il calcolo, utilizzando un elemento lineare per quei gradi di libertà. Se quell’RBE2 è utilizzato per applicare il carico o uno spostamento imposto nell’analisi geometricamente non lineare, si commette un errore. Occorre sostituire gli elementi RBE con degli elementi non lineari (come ad esempio le BEAM) a cui si assegna una caratteristica molto rigida per svolgere il compito. A parte queste eccezioni, gli altri elementi strutturali quali BEAM, SHELL e SOLIDI e anche gli elementi BUSH supportano i large displacements.
Posso combinare le non linearità geometriche con altri tipi di non linearità?
La risposta è sì, per il solutore NX Nastran, l’analisi non-lineare comprende sempre tutte le non linearità. Dipende poi da come è stato creato il modello a determinare quali non linearità siano effettivamente presenti. Se abbiamo inserito nel modello degli elementi di contatto, questi si attiveranno per la determinazione delle forze di interazione tra i corpi. Se viene definita una curva di materiale elastico non lineare o elasto-plastico, la simulazione varierà le proprietà degli elementi seguendo la curva imposta. Se nel modello ci sono parti geometricamente non lineari, il calcolo ne terrà di conto, a meno che non si dica di escludere proprio i large displacements attraverso il parametro LGDISP.
Come posso fare a rendere più stabile una simulazione con i large displacements?
La tecnica più comune per rendere più stabile il calcolo con le non linearità geometriche, quando possibile, è quella di passare da una simulazione con carico imposto a una con spostamenti imposti. In pratica occorre rimuovere la forza applicata e sostituirla con spostamento imposto nel punto di applicazione del carico. In questo modo il solutore valuterà le configurazioni di equilibrio al variare della posizione del punto di applicazione della forza, rendendo la simulazione più stabile. A posteriori si può determinare la curva carico-spostamento attraverso l’estrazione dell’andamento della forza di reazione vincolare nel punto su cui imponiamo lo spostamento.
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