Periodico bimestrale
Anno XVIII, numero 82
sett./ottobre
ISSN 1128-3874
OTTIMIZZAZIONE

Studio di sistemi per la salvaguardia dei beni culturali tramite modelli multi-body: il basamento della Pietà Rondanini

A. Cigada, E. Sabbioni, A. Siami, E. Zappa

Il monitoraggio e la conservazione di statue e monumenti è un tema di fondamentale importanza per molti musei e siti storici. I beni culturali presentano difatti un elevato rischio di danneggiamento causato dall’età, dalle escursioni termiche cui sono soggetti ed infine dalle vibrazioni indotte da terremoti, traffico (sia su strada che su rotaia) o dal vento.

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Michelangelo Buonarroti, Pietà Rondanini, Milano, Castello Sforzesco, Museo Pietà Rondanini - Michelangelo © Saporetti Immagini d’Arte

Al fine di preservare l’ultima opera, incompiuta, di Michelangelo Buonarroti, la Pietà Rondanini (scolpita nella seconda metà del 1500), il Comune di Milano, le Soprintendenze e l’Istituto Superiore di Conservazione e Restauro, del Ministero dei Beni Culturali hanno richiesto la progettazione di un basamento dotato di un sistema in grado di mitigare l’effetto di vibrazioni ed eventi sismici. Da maggio 2015, infatti, l’ultimo capolavoro di Michelangelo è esposto in un nuovo Museo realizzato nell’antico Ospedale Spagnolo nel Cortile delle Armi del Castello Sforzesco di Milano, in uno spazio interamente dedicato, capace di dare piena valorizzazione al significato espressivo e alla straordinaria potenza iconica della Pietà (Fig. 1). In questa nuova sede, le vibrazioni indotte dalla stretta vicinanza della metropolitana sono state ritenute degne di particolare attenzione dalla municipalità. Inoltre Milano è zona sismica, anche se con rischio moderato. La richiesta di isolare la statua sia dalle vibrazioni dovute al traffico (soprattutto dovuto al passaggio della metropolitana) che legate ad eventi sismici, ha reso la progettazione del basamento estremamente complessa. Difatti le due richieste prevedono di mitigare gli effetti di vibrazioni molto differenti tra loro per ampiezza, frequenza e occorrenza: le vibrazioni indotte dal traffico - come il passaggio della metropolitana - sono continue, caratterizzate da basse ampiezze (in genere maggiori in verticale) e coinvolgono un ampio campo di frequenze. Viceversa le vibrazioni indotte da un sisma avvengono in un campo di frequenze più basso, ma sono caratterizzate da ampiezze più elevate (generalmente in direzione orizzontale) ed occorrono di rado. L’accoppiamento tra i due sistemi deve quindi essere studiato con estrema cura ed ottimizzato in base alle caratteristiche dell’opera da preservare. A tal fine si è utilizzato un approccio numerico-sperimentale. Per caratterizzare il sistema di isolamento, sono state svolte prove sperimentali utilizzando una riproduzione in marmo in scala 1:1 della scultura. È stato quindi sviluppato un modello numerico dell’intero sistema (statua e basamento) utilizzando il codice multi-body ADAMS/View. Il modello numerico è stato validato sulla base delle prove sperimentali e quindi utilizzato per ottimizzare i parametri del sistema di isolamento.

IL BASAMENTO

Il basamento della Pietà Rondanini è progettato per svolgere i seguenti compiti: 1) valorizzare la scultura, 2) sorreggerne il peso, 3) isolare la statua dalle vibrazioni indotte dal traffico, 4) mitigare gli effetti di un sisma e 5) riportare la scultura nella posizione iniziale a sisma esaurito.
In particolare, per isolare la scultura dalle vibrazioni indotte dalla metropolitana (che principalmente avvengono nel campo di frequenze 16-80 Hz) è necessario un dispositivo caratterizzato da una bassa frequenza propria e da un basso smorzamento al fine di aumentare l’effetto filtrante per tutte le frequenze maggiori di quella di risonanza. Tuttavia, durante un terremoto, le basse frequenze sono quelle prevalentemente eccitate e quindi un basso smorzamento potrebbe compromettere la sicurezza della statua fino a provocarne, nel caso peggiore, la caduta. Al fine di limitare il moto della statua anche in presenza di un sisma, è stato introdotto un secondo dispositivo per proteggere la scultura da eventi sismici.

Fig. 2 - Il sistema isolante del basamento della Pietà Rondanini: (a) vista laterale (b) vista dall’alto.

Come mostrato in Fig. 2, il basamento è quindi costituito da due componenti:
un meccanismo per l’isolamento sismico (composto da 9 tavole antisismiche);
un dispositivo per l’isolamento vibrazionale (installato su quello sismico).
Il dispositivo per l’isolamento sismico è costituito da due guide lineari a ricircolo di sfere tra loro ortogonali e caratterizzate da bassissimo attrito (tavola antisismica) che consentono il moto nel piano xy del basamento della scultura. Un dispositivo a cinghia connesso alle guide lineari riporta la scultura nella posizione iniziale a sisma esaurito e ne evita indesiderati movimenti: le cinghie sono precaricate in modo da evitare spostamenti nel caso in cui la forza applicata sia inferiore a 500 N. Il dispositivo per l’isolamento sismico è stato progettato in modo da evitare velocità di spostamento superiori a 2 mm/s durante un terremoto e per avere una frequenza di circa 0.3 Hz per il moto orizzontale (ovvero nel piano xy, Fig. 2) del sistema soprastante le tavole antisismiche (ovvero il sistema antivibrante, il piedistallo e la statua).
Il dispositivo per l’isolamento dalle vibrazioni indotte dalla metropolitana è costituito da 13 tasselli posti tra il meccanismo per l’isolamento sismico ed il piedistallo della scultura, posizionati come mostrato in Fig. 2-b. Per garantire una buona azione di filtro per ogni tipo di vibrazione, la rigidezza dei tasselli è stata selezionata in modo da avere la prima frequenza propria dei moti verticale (piano xz, Fig. 2) e orizzontale (piano xy, Fig. 2) del sistema (basamento e scultura) a circa 8 Hz e 3 Hz, rispettivamente.
Come si può notare da Fig. 2.b, il sistema di isolamento è stato realizzato seguendo uno schema modulare (in particolare il sistema è costituito da 9 moduli) al fine di garantire la massima flessibilità per l’ottimizzazione/sostituzione dei componenti che lo costituiscono.
Al fine di ottimizzare le prestazioni del sistema di isolamento, è stato seguito un approccio numerico-sperimentale. In particolare, sono state svolte delle prove preliminari sul sistema di isolamento utilizzando copia in marmo in scala 1:1 della scultura in modo da caratterizzarne il comportamento e svilupparne un modello numerico. Quindi, il modello numerico, è stato utilizzato per valutare possibili migliorie da apportare ai componenti del sistema di isolamento (as esempio disposizione dei tasselli elastici e loro rigidezza).

Figura 3 - Modello multi-body del sistema costituito da scultura, basamento e sistema di isolamento dalle vibrazioni.


MODELLO MULTI-BODY IN ADAMS/VIEW


Il modello della statua e del basamento è stato sviluppato utilizzando il codice multi-body ADAMS/View. Il modello è costituito da quattro corpi rigidi (Fig. 3):
la struttura di supporto che rappresenta il terreno e che impone il movimento a basamento e statua. Alla struttura di supporto è rigidamente vincolata la parte inferiore delle guide lineari che costituiscono il sistema anti-sismico (ovvero la parte inferiore delle tavole antisismiche);
la parte inferiore del sistema antivibrante che è posizionata al di sopra delle tavole antisismiche;
l’assieme della parte superiore del sistema antivibrante e del piedistallo della scultura tra loro rigidamente collegati;
la scultura.
Le proprietà inerziali dei corpi che costituiscono il modello sono state direttamente misurate o stimate tramite modelli solidi 3D.
Il sistema antisismico è stato modellato come un campo di forze non-lineare a tre componenti. Un elemento molla-smorzatore riproduce rigidezza e smorzamento verticale del sistema di guide che costituiscono il sistema antisismico. La forza Fh scambiata in direzione orizzontale (piano xy) è invece data da tre contributi:

Fh = Fa+Fm+Ft

dove Fa rappresenta la forza dovuta all’attrito tra le guide lineari e al sistema a cinghia per il ripristino della posizione iniziale della statua, Fm rappresenta la forza elastica fornita dal sistema a cinghia ed infine Ft è la forza fornita dai tamponi di fine corsa che impediscono spostamenti eccessi della scultura. La forza elastica Fm è lineare, mentre la forza d’attrito Fa è funzione della velocità relativa tra la parte superiore (solidale con la parte inferiore del sistema antivibrante) e la parte inferiore (solidale con la struttura di supporto che rappresenta il terreno) delle tavole sismiche, come mostrato in Fig. 4.

Figura 4 - Forza di attrito in funzione della velocità relativa.

Si può notare come, per riprodurre il precarico del sistema di cinghie (necessario ad evitare indesiderati movimenti della scultura), una forza di 500 N viene applicata quanto la velocità relativa è nulla. Infine, anche la forza fornita dai tamponi Ft è una funzione non-lineare della posizione e della velocità relativa tra la parte superiore e quella inferiore delle tavole sismiche. Tale forza è nulla se lo spostamento relativo è inferiore a 250 mm (massimo spostamento relativo consentito dalle tavole antisismiche), quindi aumenta seguendo una legge esponenziale al fine di impedire spostamenti superiori a tale limite.
Il sistema antivibrante è stato invece modellato introducendo 13 elementi tipo bushing che riproducono le caratteristiche elastiche e smorzanti non-lineari dei tasselli che lo costituiscono (posti tra sistema antisismico e piedistallo della statua).
Infine, il vincolo tra piedistallo e statua tiene in considerazione i giochi (rotazioni relative) consentiti dall’accoppiamento.
Input del modello è lo spostamento imposto alla massa sismica.

PROVE SPERIMENTALI

Al fine di caratterizzare la risposta del sistema isolante della Pietà Rondanini e mettere a punto il modello multi-body, sono state eseguite delle prove sperimentali utilizzando una copia in marmo della scultura in scala 1:1 montata sul basamento. Durante le prove, il moto è stato imposto tramite un tavolo vibrante ad un supporto rigidamente collegato con la parte inferiore del sistema antisismico del basamento. In particolare, le prove sono state svolte utilizzando un tavolo vibrante fornito dal CESI Ricerche che consente l’attuazione ed il controllo del moto lungo tre assi.
Diverse prove sono state svolte per valutare il comportamento del basamento:
prove di sweep in frequenza: è imposto uno spostamento armonico a frequenza crescente da 0.1 a 50 Hz ed ampiezza in accelerazione costante e pari 0.2 m/s2. Queste prove sono state condotte separatamente lungo i tre assi x, y e z. Finalità delle prove di sweep è l’identificazione delle frequenze e dei modi di vibrare del sistema (ovvero basamento e statua);
prove di tipo sismico: è imposto uno spostamento che riproduce il forzamento rilevabile durante un sisma. In questa prova l’eccitazione è fornita contemporaneamente lungo i tre assi x, y e z. Queste prove sono atte a verificare l’accoppiamento tra i sistemi anti-vibrante e antisismico che costituiscono il basamento in reali condizioni di utilizzo durante un sisma;
prove di traffico: è imposto uno spostamento che simula il forzamento dovuto alle vibrazioni indotte dal traffico ed in particolare al passaggio della metropolitana. Queste prove hanno consentito di verificare le prestazioni del sistema antivibrante in condizioni di utilizzo.
Durante le prove, diversi accelerometri triassiali sono stati posti sulla copia della scultura ed il basamento per misurane la risposta (Fig. 5).

 

Figura 5 - Setup sperimentale e posizione degli accelerometri.

 

Figura 6 - Prova di sweep in frequenza lungo l’asse x. Funzioni di trasferimento tra accelerazione supporto (input) e accelerazioni in corrispondenza della parte inferiore del sistema anti-vibrante (punto A1, Fig. 5 – curva blu), del piedistallo della statua (punto A6, Fig. 5 – rosso tratteggiato) e della testa della statua (punto A6, Fig. 5 – verde tratteggiato): (a) sperimentale; (b) numerico.

Figura 7 - Prova di sweep in frequenza lungo l’asse z. Funzioni di trasferimento tra accelerazione supporto (input) e accelerazioni in corrispondenza della parte inferiore del sistema anti-vibrante (punto A1, Fig. 5 – curva blu), del piedistallo della statua (punto A6, Fig. 5 – rosso tratteggiato) e della testa della statua (punto A6, Fig. 5 – verde tratteggiato): (a) sperimentale; (b) numerico.

A titolo di esempio, Fig. 6-a riporta i risultati di una prova di sweep in frequenza lungo l’asse x. In particolare sono mostrate le funzioni di trasferimento tra l’accelerazione misurata sulla struttura di supporto (rigidamente collegata al tavolo vibrante) del basamento e le accelerazioni misurate in corrispondenza:
della parte inferiore del sistema antivibrante (ovvero al di sopra delle guide del sistema antisismico, punto A1 in Fig. 5);
della parte superiore del piedistallo della statua (ovvero in corrispondenza dei piedi della scultura, punto A6 in Fig. 5);
della testa della scultura (punto A5 in Fig. 5).
Le frequenze proprie del moto di beccheggio e del moto orizzontale cadono nell’intervallo 0.3-6 Hz. Sopra 6 Hz le vibrazioni lungo l’asse x sono filtrate dal sistema antivibrante del basamento (linea verde tratteggiata e linea rossa tratteggiata), mentre non vi è moto relativo tra la parte inferiore e la parte superiore delle tavole antisismiche (linea blu).
In Fig. 7-a, sono riportati invece i risultati per una prova di sweep in frequenza lungo l’asse z: sono mostrate le stesse funzioni di trasferimento della prova precedente. Si può chiaramente notare un picco di risonanza in corrispondenza di 8.7 Hz; sopra tale frequenza, le vibrazioni sono completamente filtrate dal sistema antivibrante (curve rossa e verde tratteggiata). Nessun movimento relativo è invece consentito dalle guide del sistema antisismico (linea blu).
In Fig. 6-b e Fig. 7-b, per le stesse prove, sono riportati i risultati del modello multi-body. Si può notare come il modello sviluppato sia in grado di riprodurre correttamente i modi di vibrare del basamento della Pietà Rondanini.
 


ANALISI DI SENSITIVITA'


Al fine di analizzare possibili miglioramenti del basamento, è stata svolta una analisi di sensitività variando i parametri del modello multi-body sviluppato. Bisogna però tenere in considerazione come non tutti i parametri del sistema di isolamento possano essere modificati in maniera arbitraria. Ad esempio, la rigidezza verticale dei tasselli del sistema antivibrante non può essere significativamente ridotta in quanto deve essere tale da sostenere il peso della scultura e del suo piedistallo evitando eccessive deformazioni statiche e moti di beccheggio in caso dei movimenti di elevata ampiezza indotti da un sisma. Inoltre, il valore di tale rigidezza è limitato superiormente dalla richiesta di filtrare le vibrazioni ad elevata frequenza (superiori a 10 Hz) indotte dal passaggio della metropolitana (la frequenza propria verticale del basamento deve rimanere inferiore a 10 Hz). Per non inficiare la funzionalità dei sistemi antivibrante e antisismico, si è quindi deciso di variare i seguenti parametri:
l’altezza del piedistallo della statua nell’intervallo ±20cm;
la distribuzione di rigidezza tra i tasselli del sistema antivibrante. In particolare, si è aumentata la rigidezza verticale dei tasselli posti agli angoli del basamento (indicati in blu in Fig. 2-b), riducendo quella dei tasselli più interni, al fine di mantenere la stessa frequenza per il moto verticale del basamento (ovvero 8.7 Hz).

 

Figura 8 - Prova di sweep in frequenza lungo l’asse x: (a) effetto dell’altezza del piedistallo della statua; (b) effetto della distribuzione di rigidezza tra i tasselli del sistema antivibrante.

Fig. 8-a mostra i risultati dell’analisi di sensitività relativa all’altezza del piedistallo della statua. Sono riportate le funzioni di trasferimento tra l’accelerazione della struttura di supporto (input) e le accelerazioni di piedistallo (punto A6, Fig. 5) e testa della statua (punto A5, Fig. 5) durante una prova di sweep lungo l’asse x. Si può chiaramente notare come riducendo l’altezza del piedistallo (curve a triangoli), la frequenza dei picchi di risonanza aumenti, mentre la loro ampiezza rimanga circa costante. Un aumento dell’altezza del piedistallo produce un effetto opposto (curve a quadrati).
Fig. 8-b mostra invece i risultati dell’analisi di sensitività relativa distribuzione di rigidezza tra i tasselli del sistema antivibrante. Anche in questo caso, sono riportate le funzioni di trasferimento tra l’accelerazione della struttura di supporto (input) e le accelerazioni di piedistallo (punto A6, Fig. 5) e testa della statua (punto A5, Fig. 5) durante una prova di sweep lungo l’asse x. Come precedentemente rilevato, si è ridotta la rigidezza verticale dei tasselli agli angoli del sistema isolante aumentando quella dei tasselli al centro, mantenendo la stessa frequenza per il moto verticale. In altre parole si è modificato il rapporto tra rigidezza verticale e torsionale del sistema antivibrante al fine di limitare i moti di beccheggio della statua. In effetti, si può rilevare come, modificando in questa maniera la distribuzione di rigidezza tra i tasselli del sistema antivibrante, sia possibile ridurre l’ampiezza del primo picco di risonanza (a circa 2.7 Hz), associato con il moto accoppiato orizzontale e di beccheggio del basamento (curve a quadrati), in particolare corrispondenza della testa della scultura.
 


CONCLUSIONI


La progettazione e/o l’ottimizzazione di sistemi per preservare i beni culturali dalla contemporanea presenza di vibrazioni indotte da eventi sismici e traffico è un compito estremamente complesso in quanto richiede di considerare l’accoppiamento dinamico tra sistemi di isolamento con caratteristiche molto differenti tra loro. Nel presente studio, tale compito è stato svolto utilizzando un approccio numerico-sperimentale. Le prove sperimentali hanno consentito di caratterizzate il comportamento dinamico del basamento della Pietà Rondanini e di mettere a punto un modello multi-body del sistema isolante. Data la difficoltà ed i costi legati all’esecuzione di test sperimentali, il modello del basamento, sviluppato in ADAMS/View, è stato utilizzato per valutare l’effetto di alcuni parametri di progetto sulle prestazioni complessive del sistema di isolamento dalle vibrazioni. Il sistema finale è ora installato nel nuovo museo e protegge l’ultimo capolavoro di Michelangelo.

 

Ringraziamenti


Gli autori ringraziano il Comune di Milano per il supporto finanziario e l’attività di coordinamento, nonché il CESI Ricerche, THK, Miyamoto e l’Istituto Superiore per la Conservazione ed il Restauro (ISCR) per la preziosa collaborazione offerta durante le diverse fasi del progetto.

 

 

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