Strategie di ottimizzazione multiobiettivo con incertezze nella progettazione di strutture in cemento armato
Luca Rizzian, Mariapia Marchi (ESTECO)
La progettazione strutturale è normalmente affetta da numerose incertezze: valore dei carichi, proprietà dei materiali, precisione delle misure, condizioni ambientali, ipotesi di modellazione, ecc. Considerare queste incertezze e il loro impatto sulle risposte del sistema è un problema delicato che dovrebbe essere considerato quando ci si occupa di ottimizzazione ingegneristica.
Solitamente le soluzioni migliori trovate con approcci deterministici non sono robuste rispetto alla variazione dei parametri di input (ovvero possono cambiare notevolmente per piccole differenze dei valori di input), oppure hanno una certa probabilità di non rispettare i vincoli. Negli anni sono state sviluppate due metodologie per affrontare tali problemi: la cosiddetta ottimizzazione robusta e l’analisi di affidabilità.
Questo lavoro propone un metodo che combina affidabilità e robustezza nello stesso processo di ottimizzazione utilizzando la cosidetta espansione nel caos polinomiale per stimare i valori della risposta del sistema date le incertezze in input. Questa tecnica permette di ottenere statistiche accurate a partire da poche simulazioni (con un numero ridotto di variabili stocastiche di input). Per dimostrare l’applicabilità di questo approccio nella progettazione strutturale civile, è stato considerato un modello tridimensionale di un edificio a due piani, sito a Forni di Sopra (UD) ad una quota superiore i 1500m, con struttura intelaiata in cemento armato e copertura piana. In particolare, è stato ottimizzato il dimensionamento degli elementi più sollecitati considerando l’effetto di alcune incertezze.
Nel modello sono stati inseriti carichi permanenti, variabili e della neve, che sono stati ripartiti sulle travate portanti e combinati tra loro agli stati limite, considerando anche le azioni sismiche. Il sito dell’ipotetica struttura è stato scelto per poter considerare un carico della neve elevato e non fissato dalla norma italiana NTC 2008 con precisione. Per l’altitudine considerata, il progettista deve fare affidamento alle condizioni locali di clima e di esposizione per stabilire il valore del carico della neve, che presenta quindi un’incertezza per la sua determinazione.
Nel presente studio, in fase di ottimizzazione robusta, viene considerata anche una incertezza sul valore della massa aggiuntiva necessaria nel calcolo sismico per tener conto degli elementi non inseriti esplicitamente nel modello (pareti perimetrali e interne).
Le combinazioni delle azioni sismiche nelle due direzioni principali della struttura, sono state ottenute applicando lo spettro di risposta previsto dall’Eurocodice 8 per quel sito, con un fattore di struttura pari a 3.9.
Le sollecitazioni e le deformazioni della struttura sono state ricavate utilizzando il programma di calcolo agli elementi finiti SAP2000. Grazie alle sue API è stata possibile una rapida integrazione con il software modeFRONTIER, che è stato usato per orchestrare il flusso di progettazione e l’integrazione fra gli algoritmi di ottimizzazione e l’analisi strutturale.
La struttura portante dell’edificio analizzato è formata da 4 telai di travi e pilastri, collegati trasversalmente da cordoli (si veda la Figura 1). Il materiale ipotizzato per le travi e i pilastri, modellati con elementi monodimensionali, è il calcestruzzo C25-30.
La Figura 2 riporta il Flusso di Lavoro impostato in modeFRONTIER. Le 12 variabili sono trattate come discrete dal momento che le dimensioni delle sezioni di cemento armato sono solitamente multiple di 5 cm. Inoltre le armature dipendono dai tondini di acciaio disponibili sul mercato e vengono considerate in termini di area resistente (area della singola barra moltiplicata per il numero di barre presenti). La lista delle possibili sezioni è contenuta nel file Excel sia per il calcestruzzo che per le armature.
Inizialmente sono presenti 3 parametri di input costanti: il carico da neve (snow_load) (con il valore previsto dalla Norma per quota 1500m sul livello del mare in Zona I Alpina), la massa aggiuntiva (Additional_Mass) e il fattore di struttura (q). È stata effettuata un’ottimizzazione con due obiettivi: minimizzazione del peso complessivo della trave e del pilastro maggiormente caricati e massimizzazione del coefficiente di verifica pressoflessionale di quest’ultimo al variare delle sezioni di calcestruzzo e di armatura longitudinale. Il problema è fortemente vincolato. Sono presenti 6 vincoli per la verifica delle tre campate della trave (rapporto tra momenti resistenti e sollecitanti nelle campate e negli appoggi ≥1), 3 per il pilastro (la percentuale geometrica di armatura minima maggiore dell’1%, la massima minore del 4%, e il rispetto della verifica a pressoflessione con limite massimo pari a 1), e 2 per gli spostamenti sismici nelle due direzioni principali (che sono stati confrontati con quelli massimi, che la norma italiana, pone pari a 0.005 volte l’altezza di piano).
Dapprima è stata effettuata un’ottimizzazione secondo la classica procedura deterministica, dopodiché è stata applicata la modalità di ottimizzazione stocastica basata sull’affidabilità, per poi confrontare i risultati ottenuti con i due procedimenti. In entrambi i casi è stato utilizzato l’algoritmo genetico NSGA-II, con una popolazione iniziale di 30 candidati per un totale di 20 generazioni. I risultati dell’ottimizzazione deterministica sono stati usati come punto di partenza per la successiva ottimizzazione stocastica, nella quale il carico della neve e la massa aggiuntiva diventano parametri incerti descritti rispettivamente da una distribuzione esponenziale e una log-uniforme con parametri di scala pari a circa il 10% del loro valore di riferimento. I vincoli dipendenti da questi parametri diventano probabilistici ed è stato imposto che vengano soddisfatti con una probabilità di affidabilità del 99.9% (espressa da un percentile sui vincoli).
Come si vede dalla Figura 3, la maggior affidabilità delle soluzioni trovate dall’ottimizzazione stocastica è ottenuta con un aumento del peso dei due elementi studiati rispetto all’ottimizzazione deterministica, perché i design affidabili hanno sezioni maggiori. Questi risultati rispecchiano il classico sovradimensionamento tipico in questo campo, ma al contempo lo migliorano perché ottenuti in modo automatico e ottimizzato. Le procedure qui mostrate da una parte automatizzano il processo di progettazione introducendo anche la fase di ottimizzazione, dall’altra valorizzano il ruolo del progettista nella definizione del modello e del flusso di lavoro e nella successiva analisi delle soluzioni ottimali trovate dagli algoritmi numerici. Queste tecniche sono un miglioramento rispetto al classico modo di progettare, che solitamente viene adottato nel campo dell’Ingegneria Civile. L’uso di strumenti software innovativi, consente di valutare molteplici soluzioni per le variabili di un progetto guardando contemporaneamente a più obiettivi.