Periodico bimestrale
Anno XIX, numero 88
Sett./Ottobre
ISSN 1128-3874
Robotica

Modellazione di un robot iper-ridondante tramite approccio multibody

Bucca G., Resta F., Ripamonti F.

Questo articolo presenta un possibile approccio alla modellazione dei robot continui iper-ridondanti che negli ultimi anni hanno visto una notevole diffusione e sono stati impiegati in diversi campi, come ad esempio per eseguire attività potenzialmente rischiose per l’uomo. Questa tipologia di robot è tipicamente classificata come “bio-inspired” ed è caratterizzata da numerosi segmenti flessibili messi in movimento da attuatori multipli. In questo lavoro si presenta un modello sviluppato con approccio multibody capace di riprodurre la dinamica del robot composto da diversi corpi rigidi collegati tra loro attraverso giunti rotativi. Nel modello, inoltre, in corrispondenza dei collegamenti tra i corpi, sono state aggiunte delle molle torsionali al fine di simulare l’effetto di resistenza tra i singoli segmenti e le interazioni tra i cavi di movimentazione e il robot stesso durante il moto.

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Introduzione 

La definizione di “robot ridondante” è basata sull’idea che esso presenta un numero di gradi di libertà maggiore di quelli necessari per compiere la funzione per la quale sono realizzati [1][2]. Ad esempio, nel caso di un robot utilizzato per il movimento nello spazio, esso è ridondante se il suo numero di gradi di libertà N è superiore a 6. I robot ridondanti sono stati realizzati con lo scopo di ottenere movimenti più dolci rispetto ad altre soluzioni standard. Per tale motivo, spesso la loro struttura si ispira agli animali (bio-inspired) come serpenti, tentacoli di polipi o proboscidi di elefanti [3]. Questo tipo di robot è molto utile per l’esplorazione di zone poco accessibili dove, per permettere elevate rotazioni, è necessario avere un supporto molto flessibile per l’end-effector. I robot iper-ridondanti più comuni sono di due tipologie:

robot con tendini messi in tensione da motori elettrici [4];

robot con attuatori pneumatici (attuatori McKibben) [5].

Il robot preso in esame in questo lavoro appartiene alla prima tipologia. Esso presenta una struttura a forma di serpente (snake-shaped robot) ed è composto da segmenti (o link) metallici rigidi, che forniscono un’elevata robustezza strutturale al robot, collegati tra loro attraverso giunti rotativi che permettono la rotazione relativa tra i link lungo due direzioni. Il moto viene fornito ai link attraverso alcuni cavi messi in tensione da servomotori (Figura 1). Come introdotto precedentemente, il numero di gradi di libertà del robot è superiore al numero di attuatori, ovvero il sistema risulta sotto-attuato. Per tale motivo è necessario sviluppare uno schema di controllo robusto e performante sia per la movimentazione [6] che per lo smorzamento delle vibrazioni indotte dal moto in grande e/o da disturbi esterni [7][8][9].

 

Figura 1. Foto del prototipo di robot continuo realizzato e provato in laboratorio: la movimentazione dei singoli link è possibile attraverso l’uso di cavi messi in tensione da servomotori.

Il modello analitico dello “snake-shaped” robot

Nel presente paragrafo, prima di analizzare la soluzione multibody 3D, si presenta un modello bidimensionale del robot iper-ridondante, secondo lo schema riportato in Figura 2.

Figura 2. Schema del modello bidimensionale del robot iper-ridondante preso in esame.

Esso è composto da 9 segmenti (o link), liberi di ruotare rispetto all’asse perpendicolare al piano del foglio (asse x). Nella rappresentazione è indicato anche un decimo link che però è fissato a terra e funge da supporto. Il modello proposto utilizza un approccio a parametri concentrati e, le equazioni che si ottengono per descrivere la dinamica del robot sono equazioni differenziali del secondo ordine non lineari. Queste possono essere espresse in forma matriciale come:

[M(θ)]θ + [C] θ + [K] θ + νg(θ) + ν(θ2) = τ(θ,t)            (1)

dove [M(θ)]θ rappresenta il contributo delle forze d’inerzia, [C]θ rappresenta il termine di forza legato alle azioni dissipative, [K]θ rappresenta il contributo delle forze conservative elastiche,  νg(θ) è il termine che tiene conto dell’effetto gravitazionale, ν(θ2) è il termine legato alle azioni centrifughe ed, infine, il termine τ(θ,t) è il vettore delle forze generalizzate. Nel presente lavoro, si assume che le velocità siano piccole in modo da poter trascurare il termine legato alle azioni centrifughe ν(θ2).

Per descrivere il moto si assumono come coordinate indipendenti le 9 rotazioni assolute dei link attorno all’asse x del sistema di riferimento globale (Figura 2), contenute nel vettore θ come segue:

θ=[θ1, θ2, ... , θ9]Τ                                                                                                                        (2)

La matrice di massa [M] può essere espressa come:

[M] = Σ9j             =1mj ΔΤmj Δmj                                                                                             (3)

dove mj è la massa del j-esimo elemento e Δmj (R2x9) è lo Jacobiano corrispondente alla velocità lineare del baricentro del j-esimo elemento, scomposta lungo le direzioni y e z. Poiché tutti i giunti sono di tipo rotativo, ogni elemento dello Jacobiano può essere costruito come:

                                                        (4)

dove Gmj rappresenta il baricentro del j-esimo elemento, 0 è il punto in cui è posizionato il giunto rotativo j-esimo e i pedici y e z identificano rispettivamente le componenti del vettore lungo tali assi. La matrice di massa risultante è una matrice 9×9: 

                 (5)
 

dove m è la massa di ogni singolo link (m1=mj=m) e l è la distanza tra i giunti. È importante notare che la matrice di massa dipende dalla configurazione del manipolatore. La matrice di rigidezza è una matrice tri-diagonale:

Dove k è la rigidezza torsionale rispetto all’asse locale x del giunto. La matrice di smorzamento può essere formulata come una combinazione lineare della matrice di massa e della matrice di rigidezza (modello di smorzamento proporzionale o di Rayleigh), ovvero:

[C] = α[M] + β[K]    (7)

In questo lavoro, si assume il coefficiente α pari a 0 e, di conseguenza, la matrice di smorzamento risulta essere:

L’effetto gravitazionale può essere espresso come un vettore non lineare nella forma:

Infine, per tener conto delle forze esterne applicate al robot, ovvero la tensione dei cavi applicata ai link, si è adottato un semplice modello geometrico. Assumendo che l’effetto dell’attrito sia trascurabile rispetto alla tensione applicata dai cavi, si considera quest’ultima come costante lungo tutta la lunghezza del robot. Così facendo, il termine τ(θ,t) dipende dal link a cui i cavi sono collegati, dalla configurazione geometrica del robot e dalla tensione dei cavi (Figura 3).

 

Figura 3. Modello multibody in MSC Adams: cavi messi in tensione per la movimentazione del robot.
Figura 4. Modello multibody in MSC Adams: collegamento con giunto rotativo tra due link del robot.

 

Le simulazioni numeriche in ambiente multibody 3D

Il modello descritto nel paragrafo precedente è stato esteso nello spazio considerando 2 rotazioni per ciascun giunto (Figura 4). Il modello a 18 gradi di libertà e 12 attuatori è stato implementato nel software commerciale MSC-Adams®. In particolare è stata simulata una specifica applicazione: l’inseguimento di un target identificato attraverso l’uso di una web-cam attaccata all’end-effector del robot. Uno dei vantaggi del robot è poter cambiare i punti di ancoraggio dei cavi secondo la specifica applicazione, rendendolo molto versatile. In questo lavoro, si è deciso di attaccare i tre gruppi di cavi rispettivamente ai link 6, 7 e 10 al fine di controllare la curvatura dei link 6 e 7 mantenendo il link 10 allineato con la verticale.

Il robot viene quindi azionato mantenendo la web-cam sempre centrata sul target. Il robot si muove per portare esattamente l’end-effector sopra il target mantenendo l’ultimo link in una posizione verticale. Nella Figura 5 si mostra il robot nella posizione iniziale e in una posizione finale generica. La posizione del target è identificata da un marker verde.

 

Figura 5. Modello multibody in MSC Adams: a) configurazione iniziale del robot; b) configurazione finale del robot per l’applicazione presa in esame in questo lavoro.
 

Considerando il sistema di riferimento assoluto alla base del link 1, il target è stato posto nel punto P di coordinate (0 mm, -1000 mm,100 mm). Quindi la coordinata z dell’end-effector (link 10) deve raggiungere 100 mm mantenendo l’angolo assoluto del link al valore nullo (Figura 6). In particolare, in Figura 6a, l’end-effector segue la rampa imposta raggiungendo il target in circa 4 secondi senza elevate vibrazioni nella direzione z. L’angolo dell’end-effector (Figura 6b) presenta invece piccole oscillazioni rimanendo comunque nell’intervallo ±0.4 gradi, ritenuti accettabili per la presente applicazione.

 

Figura 6. Risultati della simulazione dinamica del robot in MSC Adams: a) spostamento z del link 10 (end-effector) del robot; b) rotazione assoluta del link 10 de robot.
Figura 7. Risultati della simulazione dinamica del robot in MSC Adams: (a) storia temporale della tensione dei 3 cavi di movimentazione del robot e (b) storia temporale del loro spostamento (positivo verso l’alto).

La manovra è ottenuta mettendo in tensione solo 3 coppie di cavi. In Figura 7 si riporta il valore di tensione e lo spostamento (positivo verso l’alto) dei 3 cavi. Il cavo attaccato al link 10 genera una coppia equivalente che è opposta rispetto a quella generata dagli altri cavi per garantire la posizione verticale del link 10. I cavi collegati ai link 6 e 7 raggiungono tensioni maggiori di quelli del cavo collegato al link 10 in quanto devono sostenere il peso dei link che seguono.

 

Conclusioni

In questo lavoro è presentato il modello di un robot iper-ridondante “snake shaped”. Il vantaggio di questo tipo di robot è quello di essere in grado di generare, con pochi attuatori, configurazioni molto complesse grazie a un numero elevato di gradi di libertà. Inoltre l’implementazione di una opportuna logica di controllo in anello chiuso basata sui dati provenienti da una web-cam permette di seguire facilmente un target e di definire, attraverso un apposito algoritmo, il riferimento dei motori utilizzati come attuatori. 

Bibliografia

[1]    D. R. Li Z., “Design and analysis of a bio-inspired wire-driven multi-section flexible robot,” International Journal of Advanced Robotic Systems 10(209), 2013.

[2]    Z. M. Penning R.S., “A combined modal-joint space control approach for minimally invasive surgical continuum manipulators,” Advanced Robotics, pp. 1091–1108, 2014.

[3]    D. Trivedi, C. D. Rahn, W. M. Kier, and I. D. Walker, “Soft robotics: Biological inspiration, state of the art, and future research,” Applied Bionics and Biomechanics 5(3), pp. 99–117, 2008.

[4]    R. Buckingham and A. Graham, “Reaching the unreachable - snake arm robots,” in Proceedings of International Symposium of Robotics, pp. 1–6, 2003.

[5]    M. W. Hannan and I. D. Walker, “Analysis and initial experiments for a novel elephant’s trunk robot,” in IEEE International Conference on Intelligent Robots and Systems, 1, pp. 330–337, 2000.

[6]    G. Cazzulani, F. Resta, and F. Ripamonti, “Linear and non-linear systems identification for adaptive control in mechanical applications vibration suppression,” Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering 8341(83411V), 2012.

[7]    F. Cola, F. Resta, and F. Ripamonti, “A negative derivative feedback design algorithm,” Smart Materials and Structures 23(8)(085008), 2014.

[8]    P. Ambrosio, G. Cazzulani, F. Resta, and F. Ripamonti, “An optimal vibration control logic for minimizing fatigue damage in flexible structures,” Journal of Sound and Vibration 333(5), pp. 1269–1280, 2014.

[9]    M. Serra, F. Resta, and F. Ripamonti, “Dependent modal space control,” Smart Materials and Structures 22(10)(105004), 2013.

 
 

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