I materiali compositi in modelli ad elementi finiti di tipo solido

Agli inizi dell’era commerciale dei software di calcolo ad Elementi Finiti (si parla della fine degli anni ‘60 del secolo scorso), i codici erano esclusivamente lineari e avevano nella loro libreria un numero di tipologie di elementi estremamente ridotto. Modelli di tipo beam e truss erano all’ordine del giorno, e ci si spingeva a realizzare modelli a shell quando era strettamente necessario. I modelli solidi erano quindi un sogno, non solo per lo sforzo computazionale richiesto a macchine che erano di gran lunga meno potenti del meno potente smartphone oggi in vendita, ma anche perché la costruzione di un modello tridimensionale con elementi brick (il tetraedro infatti sarebbe arrivato solo in seguito) non era per nulla una cosa semplice: non va dimenticato, infatti, che i modelli venivano prima disegnati in scala su un foglio di carta millimetrata e poi inseriti nei calcolatori digitando i numeri di ogni singolo nodo, le sue coordinate, il numero di ogni singolo elemento e le relative connessioni con i nodi.

Sembra preistoria eppure sono trascorsi solamente poco più di cinquant’anni.

I materiali utilizzabili erano solo quelli omogenei e isotropi, anche perché a quei tempi il settore aerospaziale (non bisogna dimenticare che NASTRAN è l’acronimo di NAsa STRucture ANalysis) faceva uso esclusivamente di questo genere di materiali (acciaio, titanio, leghe di alluminio).

Tempi più recenti hanno visto lo sviluppo dei materiali compositi a fibra lunga ed orientata e la necessità di analizzare in modo automatico le strutture realizzate con questi materiali ha richiesto l’adeguamento dei codici, almeno in una certa misura: per gli elementi shell è stato ad un certo punto possibile assegnare diversi materiali in funzione dello stato tenso-deformativo, ossia, ad esempio, un modulo di Young per il comportamento membranale e uno, diverso, per il comportamento flessionale.

E questo proprio per adeguarsi alle caratteristiche dei pannelli in composito, dove la rigidezza flessionale e quella membranale sono funzione dei materiali impiegati, della loro orientazione e del loro impilamento lungo lo spessore del pannello. Era un passo in avanti, ma era ancora necessario calcolare a mano i moduli di Young flessionale e membranale

equivalenti per poi darli in pasto al codice; così, ogni volta che si cambiavano i materiali, la loro orientazione o la loro sequenza di impilamento, era necessario ricalcolare le proprietà equivalenti. Ma le difficoltà non terminavano qui; una volta ottenuta la soluzione bisognava calcolare gli stress nei vari strati di materiale perché, essendo il pannello non omogeneo, la discontinuità delle tensioni tra i vari strati può essere molto marcata. E quindi l’ultimo passo evolutivo è stato quello di automatizzare anche il calcolo delle proprietà equivalenti: oggi è infatti possibile “semplicemente” indicare quale materiale viene assegnato ad un determinato strato, quale l’orientazione delle sue fibre e quale il suo spessore per avere, in uscita dal calcolo, anche gli stress e gli indici di rottura di ogni singolo strato. Tutto questo, lo ricordiamo, viene fatto per gli elementi shell, ossia per elementi atti a modellare strutture in cui due dimensioni sono molto maggiori rispetto allo spessore: piastre sottili e gusci, in sostanza.

Tuttavia oggi, dato il crescente uso di materiali compositi e lo sviluppo di tecnologie produttive inimmaginabili solamente qualche anno fa, di frequente si vedono strutture in composito che definire “sottili” appare quantomeno azzardato e la loro analisi strutturale pone indubbiamente qualche perplessità. Estendere oltre i suoi limiti intrinseci le capacità dell’elemento shell sembra la sola strada da intraprendere, ma anche con tutte le cautele del caso e la consapevolezza che i risultati possono condurre ampiamente fuoristrada, i rischi cui si va incontro sono elevati. L’esplorazione di percorsi alternativi diventa allora quasi un obbligo.

Nel seguito vedremo un caso reale in cui l’utilizzo “esteso” degli elementi shell ha prodotto risultati errati al punto che la prova al banco ha portato il pezzo a rottura, quando il modello di calcolo presenteva dei buoni margini di sicurezza, ed è stato quindi necessario correggere l’approccio al calcolo ed utilizzare il nuovo sistema per modificare la parte e farle superare infine il test al banco.

Barra di collegamento

La barretta della figura 1 (essendo l’elemento simmetrico si è realizzata solamente metà modello) è sollecitata a taglio e flessione e da una forza assiale.
Come possiamo vedere, la zona con i due fori è più spessa proprio per garantire la resistenza del fissaggio, effettuato con due viti. Possiamo anche vedere come la parte sottile potrebbe tutto sommato essere modellata con elementi shell, dato che lo spessore é circa 10 volte minore rispetto alla larghezza (4.96 mm di spessore per una larghezza di 40 mm). Tuttavia la parte più spessa non appare certo una piastra. Inoltre la transizione tra le due zone presenta qualche difficoltà di modellazione.

Vediamo perché.

Il lay-up (o sequenza di impilamento) sia quello riportato nella figura 2; vengono impiegati due materiali differenti: un telo di fibre unidirezionali (UD), con una marcata differenza di caratteristiche meccaniche tra la direzione delle fibre e quella ortogonale, e un telo tessuto (CL), con caratteristiche circa uguali nelle due direzioni (per qualche dettaglio in più sui materiali compositi si vedano [1] e [2]), impilati nel seguente modo per quanto riguarda la parte sottile:

[CL₄₅/4xUD₀/CL₄₅/4xUD₀/CL₄₅]_SYM

La transizione tra la parte sottile e quella spessa viene fatta impiegando teli tessuti e “scalandoli” fino alla rampa. Inoltre il primo tessuto e l’ultimo, posti a chiusura del pacchetto di teli, seguono la rampa, di fatto risultando inclinati rispetto al piano medio del laminato. Ecco quindi la prima difficoltà di un modello ad elementi shell: quei due teli non possono essere schematizzati adeguatamente e la sola strada percorribile porta al modello della figura 3, dove gli elementi sono rappresentati con il loro spessore, calcolato dal software grafico a partire dalle informazioni introdotte.

Come si può vedere, i due teli di chiusura sono “scalettati” e non riproducono la reale situazione della figura 2. Tuttavia questo non ci scoraggia e procediamo ugualmente con il calcolo, pervenendo ai risultati riportati nelle figure dalla 4 alla 8.

La prima cosa che si osserva è la discontinuità delle tensioni passando dalla zona “piatta” della barretta alla zona di transizione. E questo è ovvio, visto che si va verso spessori crescenti. Altrettanto ovvia è la distribuzione non simmetrica della tensione in direzione 1 per i teli tessuti orientati a 45°.
Un altro aspetto molto importante riguarda l’enorme quantità di output che è necessario verificare per avere la certezza di non incorrere in possibili rotture: nei modelli a shell, infatti, è generalmente possibile plottare le tensioni (o gli indici di rottura) solamente telo per telo; esistono delle funzioni che consentono di disegnare l’inviluppo (ossia ad ogni elemento viene assegnato il massimo valore di tensione o di indice di rottura che l’elemento stesso “vede” tra tutti i teli che gli competono), e questo va bene per avere un primo impatto sulle zone più sollecitate, ma poi è necessario comunque procedere ad un’indagine più approfondita.
Non va poi dimenticato che qui ci siamo concentrati solamente sulla tensione in direzione 1, ma poi bisogna guardare quella in direzione 2, la tensione di scorrimento nel piano e, non ultime, le due tensioni di scorrimento fuori dal piano (stress interlaminari).

E qui si apre un vasto capitolo di problematiche che cercheremo di sintetizzare il più possibile.
In una piastra sottile gli stress di taglio fuori piano sono generalmente trascurabili, proprio per la natura di spessore sottile, così come la tensione in direzione perpendicolare al piano. Tuttavia per i materiali compositi anche piccole entità di tensioni interlaminari possono risultare critiche, visto che ciò che tiene insiemi i vari teli è una resina con caratteristiche meccaniche modeste.

Nasce quindi la necessità di calcolare “in qualche modo” gli stress di scorrimento fuori piano anche per gli elementi shell; senza entrare nei dettagli, basti dire che tutti i codici oggi in commercio effettuano queste valutazioni sulla base dell’energia elastica associata alla deformazione fuori dal piano e che questo sistema non è troppo preciso, con conseguente scarsa attendibilità dei valori delle sollecitazioni interlaminari.
Alla luce di tutto ciò ci si potrebbe domandare se esista un metodo per ovviare agli inconvenienti intrinseci di un modello ad elementi shell. E la risposta è affermativa.
Per poter cogliere uno stato di sforzo tridimensionale occorre impiegare elementi tridimensionali, ovviamente. E se questo al giorno d’oggi non è generalmente un problema, in un caso particolare come questo è necessario fare alcune considerazioni:

• ogni telo andrà modellato con le sue caratteristiche meccaniche ortotrope: questo implica la conoscenza delle caratteristiche di ogni telo in tre direzioni, mentre solitamente per la modellazione “classica” a shell è sufficiente disporre delle proprietà nel piano (e i moduli tangenziali fuori piano per la relativa rigidezza al taglio);
• dato il piccolo spessore di ogni singolo strato (pochissimi decimi di millimetro), gli elementi solidi (siano essi esaedri o tetraedri) saranno già abbastanza “al limite” della loro qualità numerica, se non vogliamo esagerare con le dimensioni del modello; in certi casi sarà necessario ricorrere al submodelling, come spiegato in [3];
• sarà necessaria molta cura nell’assegnare l’orientamento del materiale all’interno di ogni singolo strato; ad esempio per i teli tessuti esterni della barretta occorrerà definire degli orientamenti ad hoc per i tratti inclinati.

Adottando le dovute cautele ed avendo a disposizione i dati dei materiali, costruiamo il modello solido della barretta, che avrà la configurazione riportata nella figura 9. Si osserva immediatamente come il telo di chiusura superiore (e anche quello inferiore, non visibile) chiuda effettivamente anche i teli del tratto inclinato, di fatto riproducendo in maniera più fedele la realtà delle cose.
Le figure dalla 10 alla 15 riportano i risultati generati da questo modello quando sono applicate le medesime condizioni di vincolo e carico adottate per il modello a shell. Il confronto tra le figure 4 e 10 evidenzia già una differenza non trascurabile tra i risultati dei due modelli: in particolare il modello a shell risulta decisamente più rigido, già chiaro sintomo che una schematizzazione con elementi shell risulta inadeguata.

Anche confrontando i valori delle tensioni si osservano differenze tutt’altro che trascurabili nei risultati ottenuti con i due diversi modelli, confermando che il modello a shell non è adatto per questa geometria.

Se ora entriamo nel dettaglio delle sollecitazioni, vediamo che il modello a shell presenta dei coefficienti di sicurezza accettabili: i teli tessuti superiore ed inferiore vedono una massima sollecitazione di compressione e trazione rispettivamente di -388 e 381 MPa, a fronte di ammissibili rispettivamente pari a -740 e 700 MPa; i teli unidirezionali più esterni, invece, vedono sollecitazioni pari a -1265 e 1861 MPa rispettivamente per quello inferiore e quello superiore, a fronte di ammissibili pari a -1620 e 2590 MPa rispettivamente. Utilizzando il criterio del massimo stress si ottiene il minimo coefficiente di sicurezza, che vale 1620/1265 = 1.28; ossia ci aspettiamo una rottura del primo telo unidirezionale superiore (in compressione) se i carichi esterni aumentano del 28%.

Guardiamo ora i risultati del modello a elementi solidi: i teli tessuti superiore ed inferiore vedono una massima sollecitazione di compressione e trazione rispettivamente di -638 e 708 MPa; i teli unidirezionali più esterni, invece, vedono sollecitazioni pari a -1581 e 2203 MPa rispettivamente per quello inferiore e quello superiore. Gli ammissibili chiaramente sono gli stessi e pertanto ora il telo più critico è il telo tessuto superiore, con un coefficiente di sicurezza minimo (in trazione) pari a 700/708 = 0.99.

Già questo potrebbe far pensare che il test al banco è fallito a causa della rottura del telo tessuto. Ma l’analisi del pezzo rotto indica un meccanismo di rottura diverso. Si è infatti registrato un “sollevamento” del telo tessuto inferiore rispetto agli altri strati, avvenuto nella zona indicata nella figura 16. Questo effetto, noto come “peeling”, è generato dalla tensione normale al piano dei teli e non può essere visto con un modello a shell, mentre può benissimo essere evidenziato da un modello ad elementi solidi. La figura 17 riporta proprio l’andamento di questa componente della sollecitazione sul modello sezionato lungo il piano di simmetria. Come si può osservare si hanno valori di circa 50 e -50 MPa rispettivamente all’interfaccia tra i teli tessuti inferiore e superiore e i primi teli unidirezionali. A ulteriore conferma di ciò, la figura 18 riporta la medesima informazione della figura 17, ma in questo caso la rappresentazione tensoriale evidenzia in modo intuitivo l’effetto di peeling. Il valore di 50 MPa è molto vicino al valore ammissibile per la resina utilizzata per il componente, che avrebbe forse potuto resistere al carico qualora fosse stato di tipo statico, ma non certamente a cicli di fatica.

Un sistema per incrementare la resistenza del componente in direzione normale al piano del laminato è quello di mettere in qualche modo delle fibre anche in questa direzione, magari attraverso la tecnica del “z pinning” o ricorrendo a tecniche di “tessitura” ben più complicate e costose. Il problema è stato in questo caso risolto utilizzando il modello ad elementi solidi e riducendo l’angolo della rampa fino a quando la σ₃₃ è stata ridotta a circa la metà del valore iniziale. Si è chiaramente dovuto anche modificare la zona dei fissaggi della barretta, dato che la variazione dell’angolo ha anche portato ad una riduzione dello spessore in quella zona, e verificare che non sorgessero problemi nei fori di passaggio delle viti. Il test sulla parte così modificata è stato superato senza problemi.

Conclusioni

Abbiamo visto come con un modello tridimensionale sia stato possibile cogliere stati di sollecitazione che i modelli ad elementi shell non sono in grado di riprodurre e come sia fuorviante basarsi su questi ultimi quando essi vengono impiegati ai limiti della loro validità, se non addirittura oltre. Come accennavamo in precedenza, i materiali compositi stanno vedendo
un utilizzo sempre più vasto e il loro impiego industriale e su larga scala prevede che anche le tecnologie di produzione siano compatibili con i costi, i tempi e la qualità oggi richiesti; la barretta che qui abbiamo portato come esempio è stata laminata a mano in stampi femmina utilizzando dei teli pre-impregnati (pre-preg), e questo metodo produttivo è compatibile con il settore nel quale è stata utilizzata, ma non consente un facile incremento della resistenza al peeling. Tuttavia tecnologie più recenti, quali l’RTM (Resin Transfer Moulding), permettono di orientare le fibre in tutte le direzioni e di avere, quindi, quello che serve dove serve; in questi casi è pertanto necessario avere modelli che rappresentino il reale stato delle cose e l’utilizzo di un modello ad elementi solidi diventa irrinunciabile. Ma, come abbiamo visto, anche un modello 3D comporta qualche problematica: necessità di conoscere le caratteristiche dei materiali nelle tre direzioni, incertezza su quale criterio di rottura utilizzare (noi abbiamo per semplicità utilizzato quello del massimo stress, tuttavia criteri che combinino gli stress nelle due direzioni, quali ad esempio Tasi-Hill o Tsai-Wu, sono più attendibili ma ancora non totalmente “estendibili” ai casi tridimensionali), dimensioni dei modelli decisamente più grandi e, non ultimo, una minore flessibilità nel gestire modifiche di lay-up (basti pensare che il solo invertire due teli di spessore diverso comporta una modifica alla geometria dalla quale generare il modello FE) sono tutti fattori da tenere in considerazione quando si crea un modello ad elementi solidi per una parte realizzata in materiale composito. Prove sui materiali per ottenere i dati, prove distruttive su pezzi reali o provini ad hoc per acquisire confidenza con i criteri di rottura tridimensionali, qualora i tempi e i costi da sostenere lo consentano, sono attività propedeutiche alla preparazione di un buon modello, mentre la tecnica del submodelling aiuta a contenerne la dimensioni entro limiti accettabili.

Bibliografia

[1] Gianni Caligiana, Francesco Cesari - I Materiali Compositi - Pitagora Editrice, Bologna 2002
[2] Claudio Gianini - Tecniche Avanzate di Progettazione Strutturale - Athena Audiovisuals, Modena 2006
[3] Claudio Gianini - La Progettazione Strutturale con il Calcolatore - Athena Audiovisuals, Modena 2003

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