Simulazione elettro-termica di un bersaglio di produzione di ioni radioattivi

1. INTRODUZIONE

Il progetto SPES (Selective Production of Exotic Species) mira alla costruzione e allo sviluppo di una facility per la produzione di fasci di ioni radioattivi presso i Laboratori Nazionali di Legnaro (LNL-INFN). In particolare, la facility SPES verrà utilizzata per produrre fasci di ioni radioattivi ricchi in neutroni [1] da impiegare per la ricerca di base nell’ambito della fisica nucleare, dell’astrofisica, della fisica dello stato solido, e per la medicina nucleare [2]. Il bersaglio o target di produzione SPES è composto da 7 dischi coassiali in Carburo di Uranio (diametro e spessore pari a 40 e 1.3 mm, rispettivamente), opportunamente spaziati in direzione assiale in modo tale da poter dissipare per radiazione termica la potenza media di 8kW derivante dal fascio protonico che, attraversandoli, induce le reazioni nucleari di interesse (vedi figura 1).

Due sottili finestre circolari (200 μm di spessore) in grafite sono sistemate in prossimità della zona di ingresso del fascio per evitare l’indesiderata fuoriuscita dei nuclei radioattivi, mentre quattro dumper in grafite di spessore variabile tra 0.8 e 10 mm vengono utilizzati per fermare il fascio dopo l’attraversamento delle finestre e dei dischi. Dischi, finestre e dumper sono contenuti all’interno di una scatola tubolare in grafite, caratterizzata da un diametro esterno e da una lunghezza rispettivamente pari a 49 e 200 mm. Tale scatola viene posizionata all’interno di una camera da vuoto raffreddata ad acqua e deve mantenere una temperatura approssimativamente pari a 2000 °C: vuoto ed alta temperatura sono due elementi necessari per garantire un’efficace estrazione dei nuclei radioattivi. La potenza derivante dal fascio di protoni non è sufficiente a mantenere la scatola in grafite al livello di temperatura desiderato [1], essendo le superfici di quest’ultima caratterizzate da un valore molto alto di emissività e quindi in grado di trasmettere molto efficacemente il calore per radiazione termica. È di conseguenza necessario introdurre un dispositivo ausiliario riscaldante e schermante, in grado di garantire il mantenimento del livello di temperatura desiderato. Tale dispositivo, indipendente dal fascio protonico, risulta essere di fondamentale importanza anche per il controllo termico del target durante le procedure di accensione e di spegnimento, quando il fascio protonico non è ancora stabilizzato.

Il sistema riscaldante (vedi figura 2) è composto da un tubo molto sottile in Tantalio: la lunghezza è di 200 mm, mentre il diametro esterno e lo spessore sono pari rispettivamente a 50 e a 0.35 mm; alle estremità di tale tubo vengono saldate due ali in Tantalio, direttamente connesse a due morsetti in Rame, grazie ai quali è possibile portare la corrente elettrica necessaria a riscaldare per Effetto Joule il tubo sottile in Tantalio (alimentatore caratterizzato dai seguenti valori di massima corrente e massima differenza di potenziale: I_MAX = 1000 A, ΔV_MAX = 10 V). Il Tantalio è un metallo di transizione molto resistente alla corrosione, in grado di condurre calore e corrente elettrica, (conducibilità termica e resistività elettrica a temperatura ambiente pari a 57 W/(m·K) e 1.34·10^-7 ohm·m, rispettivamente, entrambe caratterizzate da valori crescenti con la temperatura) ed in grado di operare a temperature elevate: per una pressione di 10^-4 Pa (è questo il livello di pressione raggiunto in condizioni di lavoro all’interno della camera target) la temperatura alla quale il Tantalio comincia a sublimare è pari a 2200 °C [3]. Inoltre, grazie alla sua bassissima emissività (0.15 a 1000 °C e 0.26 a 2000 °C), il Tantalio è ideale per schermare la scatola in grafite contenente i dischi in Carburo di Uranio, limitandone quindi il raffreddamento per radiazione termica. E’ importante notare che (i) il target è riscaldato da due componenti di carico termico, la prima derivante dal fascio protonico, la seconda dal sistema di riscaldamento elettrico indipendente e che (ii) il problema termico ed il problema elettrico sono accoppiati, dal momento che il riscaldatore in Tantalio genera calore per effetto Joule e la resistività elettrica del Tantalio è dipendente dalla temperatura.

Pertanto è stato definito un modello agli Elementi Finiti (FE) accoppiato termo-elettrico, con lo scopo di sviluppare ed ottimizzare il target SPES ed il rispettivo sistema di riscaldamento [4, 5]. Il modello ad Elementi Finiti descritto in questo lavoro considera solamente il carico termico associato al sistema di riscaldamento, e costituisce la base per i successivi lavori di ottimizzazione associati al target e al fascio protonico descritti in [4].

Scopo delle simulazioni descritte nel presente lavoro è stato quindi:

- calcolare la dissipazione di potenza per Effetto Joule a livello del riscaldatore in Tantalio;

- calcolare la distribuzione di temperatura del blocco target (comprendente il target di produzione ed il sistema riscaldante).

Prima di affrontare le simulazioni numeriche agli Elementi Finiti, è stato definito un semplice modello analitico monodimensionale per stimare il livello di temperatura del tubo in Tantalio.

I risultati ottenuti, sia numerici che analitici, sono stati successivamente confrontati con misure elettriche e termiche. Per evitare problemi di radioprotezione sono stati utilizzati dischi in Carburo di Silicio, materiale caratterizzato da un comportamento molto simile al Carburo di Uranio per quanto concerne la trasmissione del calore per irraggiamento.

2. MODELLO ANALITICO

MONO-DIMENSIONALE

Il modello analitico monodimensionale riportato in figura 3 permette di calcolare un singolo valore di temperatura per l’intero tubo in Tantalio che circonda la scatola in grafite. In realtà il tubo è caratterizzato da notevoli gradienti di temperatura, in particolare in prossimità delle connessioni con le ali in Tantalio.

Mentre da un lato la geometria è stata semplificata in modo drastico, dall’altro il modello prende in considerazione la variabilità della resistività elettrica e dell’emissività del Tantalio con la temperatura [4, 6, 7].

Come già accennato, il blocco target è mantenuto in alto vuoto e la temperatura di lavoro è approssimativamente pari a 2000 °C; di conseguenza l’irraggiamento risulta essere predominante rispetto alle altre modalità di scambio termico (conduzione e convezione). Se si prendono in considerazione solamente la superficie laterale esterna del tubo in Tantalio (area A₁), la superficie interna della camera da vuoto (area A₂) e le si approssimano con le superfici sferiche equivalenti di area A₁ [m²] e A₂ [m²], il flusso termico radiativo q_1-2 [W] tra il blocco target e la camera può essere espresso impiegando la semplice formula analitica (nelle ipotesi di superfici grigie e diffuse) riproposta in [8, 5]. Considerando la generazione di calore prodotta dalla corrente elettrica I [A] che passa attraverso il tubo in Tantalio del sistema riscaldante (conduttore avente sezione uniforme S [m²], lunghezza L [m] e resistività elettrica

ρ [ohm·m]) e supponendo che questa venga totalmente dissipata per irraggiamento, è possibile uguagliarla al flusso termico radiativo q_1-2. Con alcuni semplici passaggi, è possibile esplicitare la temperatura del tubo in Tantalio T₁ in funzione della corrente elettrica I, come indicato di seguito:

dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann [W/(m²K⁴)], T₁ [K] e T₂ [K] sono le temperature assolute associate alle due superfici sferiche concentriche, ε₁ [/] ed ε₂ [/] sono le emissività emisferiche globali rispettivamente delle superfici 1 e 2 (vedi figura 3).

L’equazione (1) può essere usata per studiare la dipendenza della temperatura del tubo in Tantalio dalla corrente elettrica I che alimenta il sistema di riscaldamento; questa deve essere risolta numericamente, dal momento che la resistività elettrica e l’emissività emisferica globale del Tantalio sono dipendenti dalla temperatura T₁.

3. TRATTAZIONE TEORICA DEL PROBLEMA ELETTRO-TERMICO

In questo paragrafo vengono presentate e discusse le principali equazioni che controllano il comportamento termico ed elettrico del target. Partendo dalla termica, si osserva che solitamente i problemi accoppiati di tipo conduttivo/radiativo vengono risolti mediante metodo sequenziale [4, 5], che considera iterativamente le equazioni della conduzione termica e quelle che descrivono l’irraggiamento: i flussi termici radiativi costituiscono le condizioni al contorno per il problema conduttivo, mentre le distribuzioni di temperatura a livello delle superfici descrivono le condizioni al contorno del problema radiativo.

In figura 4 è possibile apprezzare una rappresentazione del problema conduttivo/radiativo, caratterizzato dalla diffusione dell’energia attraverso la regione solida V (problema conduttivo), e dalla trasmissione del calore per irraggiamento tra le superfici che formano l’enclosure (gruppo di superfici radianti) di irraggiamento S_enc (problema radiativo).

Il problema conduttivo è descritto nella sua forma generale dall’equazione della diffusione termica (in coordinate cartesiane) [8]:

(2)

dove T(x,y,z) è il campo di temperatura, t è il tempo, ρ è la densità del materiale, c è il calore specifico, k è la conducibilità termica, e q è la generazione di calore per unità di volume. Per ottenere una soluzione specifica dell’equazione (2) è necessario specificare le condizioni al contorno e le condizioni iniziali.

Le condizioni iniziali specificano il campo di temperatura T(x,y,z,t) per l’intera regione solida V all’istante iniziale:

Le condizioni al contorno descrivono lo status della superficie S che racchiude il dominio V. In generale vengono espresse nel modo seguente:

dove l’equazione (4) rappresenta un esplicito vincolo di temperatura, le derivate normali delle equazioni (5) e (6) sono calcolate rispetto al versore esterno n normale al contorno S, con S = S_T-assign U S_q-assign U S_conv U S_rad U S_enc. I termini q_i delle precedenti espressioni sono positivi quando diretti lungo la direzione n positiva. In particolare q_conv e q_rad rappresentano il flusso termico convettivo ed il flusso termico radiativo far-field (rivolto all’universo circostante), rispettivamente per le porzioni del contorno S_conv ed S_rad. Tali flussi vengono descritti grazie alle seguenti espressioni [4, 5]:

Nelle equazioni (7) e (8) h è il coefficiente di scambio termico convettivo, T_c è la temperatura del fluido che circonda la porzione di contorno S_conv, ε è l’emissività emisferica totale della superficie S_rad (supposta grigia e diffusa), σ è la costante di Stefan-Boltzmann, e T_r è la temperatura assoluta dell’ambiente circostante, o meglio la temperatura assoluta di riferimento della superficie isoterma (molto più grande di S) che racchiude completamente il contorno più esterno del dominio rappresentato in figura 4. Sulle superfici appartenenti all’enclosure S_enc, le condizioni al contorno sono governate dall’equazione (6), dove q_enc è il flusso termico radiativo da superficie a superficie o flusso termico radiativo netto. In poche parole, se non viene considerato il flusso termico convettivo sulla superficie S_enc, q_enc è uguale al flusso termico conduttivo che attraversa la porzione infinitesima di volume sottostante S_enc.

La soluzione del problema radiativo, ovvero la determinazione di q_enc, può essere ottenuta considerando la seguente espressione [4, 5], e assumendo che le N superfici coinvolte nello scambio termico radiativo siano grigie e diffuse, e che ognuna di esse sia caratterizzata da un valore uniforme per la temperatura e per il flusso termico radiativo netto:

dove δ_ji è il delta di Kronecker (δ_ji=1 se i=j, altrimenti δ_ji=0), ε_i è l’emissività emisferica totale della superficie i, F_j-i è il fattore di vista (vedi sotto), q_{enc, i} è il flusso termico radiativo netto associato alla superficie i, σ è la costante di Stefan-Boltzmann, e T_i è la temperature assoluta della superficie i. Il fattore di vista F_j-i è definito come la frazione della totale energia radiante che lascia la superficie j e che impatta direttamente sulla superficie i. F_j-i può essere descritto come indicato di seguito:

con i parametri geometrici dell’equazione (10) rappresentati in figura 4. Dopo aver determinato le temperature T_i dalla soluzione del problema conduttivo per le superfici che compongono l’enclosure, è possibile ottenere un sistema di N equazioni esplicite (9) in grado di fornire  (9) q_{enc, i} per ogni superficie dell’enclosure. Tali valori di flusso termico radiativo netto possono essere a loro volta applicati come condizioni al contorno per il problema conduttivo.

Per quanto concerne il problema elettrico, il campo della densità di corrente j(x,y,z) dipende dal gradiente del potenziale elettrico V(x,y,z), secondo l’equazione di Ohm:

dove ρ(T) è la resistività elettrica dipendente dalla temperatura. Inoltre, considerando le condizioni di stazionarietà, vale la seguente equazione per il campo j:

Prendendo in considerazione l’effetto Joule, la potenza termica dissipata per unità di volume q (x,y,z) indicata nell’equazione (2), può essere calcolata come:

dove il simbolo . indica il prodotto scalare tra i due vettori.

4. MODELLO NUMERICO

Per simulare il comportamento termico del target SPES e del sistema di riscaldamento associato, è stato definito un modello ad Elementi Finiti tridimensionale, impiegando il codice di calcolo commerciale ANSYS^® (vedi figura 5).

In particolare, per modellare il sistema di riscaldamento è stato usato l’elemento accoppiato termo-elettrico SOLID69, i cui nodi possiedono due gradi di libertà: la temperatura ed il potenziale elettrico (in alternativa è possibile utilizzare l’elemento SOLID226, opportunamente configurato per analisi di tipo termo-elettrico). Gli oggetti coinvolti nel problema accoppiato termo-elettrico sono i morsetti in Rame ed il riscaldatore in Tantalio, per i quali è stato necessario definire i valori di resistività elettrica [6, 9], di emissività emisferica globale [7] e di conducibilità termica [10], considerando la dipendenza di questi ultimi dalla temperatura. L’elemento termico ad un solo grado di libertà (la temperatura) SOLID70 (anche in questo caso è possibile utilizzare come alternativa l’elemento SOLID226, configurato questa volta per analisi di tipo termico) è stato impiegato per modellare le finestre, i dumper, la scatola in grafite (isomolded ATJ type), i dischi in Carburo di Silicio e la camera in lega di Alluminio Al5083. Di conseguenza, sono stati considerati i valori di emissività e di conducibilità termica dipendenti dalla temperatura per la grafite [11, 12], il Carburo di Silicio [11, 13] e la lega Al5083 [14, 15]. Per tutti i materiali precedentemente menzionati, i valori di densità e di calore specifico sono stati considerati indipendenti dalla temperatura e pari ai valori di riferimento a temperatura ambiente, in quanto nel presente lavoro vengono presi in esame i campi di temperatura esclusivamente dopo la stabilizzazione termica (regime stazionario). La geometria del sistema oggetto di studio è stata semplificata per alcuni dettagli (vedi figura 5) in modo da limitare la complessità del modello numerico; nello specifico, è stato considerato un contatto termico ed elettrico perfetto tra le ali in Tantalio ed i morsetti in Rame (nella realtà sono stati collegati con un set di viti in acciaio inox), mentre è stato mantenuto un gap radiale di 0.2 mm tra il tubo in Tantalio e la superficie cilindrica esterna della scatola in grafite (nell’oggetto reale, la scatola in grafite ed il cilindro in Tantalio sono entrambi posizionati orizzontalmente e, per semplice gravità, il primo si appoggia al secondo, idealmente lungo una linea di contatto). Pertanto nel modello numerico, il sistema di riscaldamento ed il target si scambiano calore esclusivamente per radiazione termica. Gli scambi termici per irraggiamento sono stati implementati come carichi termici superficiali, secondo il metodo Radiosity Solver di ANSYS^® [16]. È importante sottolineare che ANSYS^® tiene conto degli scambi termici per irraggiamento nelle ipotesi di superfici grigie (emissività indipendente dalla lunghezza d’onda) e diffuse (emissività indipendente dalla direzione). Nel caso di problemi tridimensionali complessi il codice di calcolo impiega il metodo Hemicube [17] per il calcolo dei fattori di vista. Sono state definite sei differenti enclosure (raggruppamento di superfici che tra loro si scambiano calore per irraggiamento) per computare lo scambio termico radiativo all’interno della scatola in grafite, tra finestre, dischi, dumper e le superfici interne della scatola stessa; una settima enclosure è stata definita prendendo in considerazione le superfici esterne della scatola in grafite, il sistema riscaldante e le superfici interne della camera da vuoto. In figura 5 sono rappresentate le condizioni al contorno applicate al modello. Per quanto riguarda il problema elettrico è stato assegnato ad uno dei due morsetti il vincolo di 0 Volt e all’altro un carico di corrente elettrica variabile tra 400 e 1000 A. Per quanto concerne invece il problema termico, un vincolo di temperatura pari a 25 °C è stato assegnato alle superfici interne dei canali di raffreddamento che passano attraverso la camera ed i morsetti in Rame. Dal momento che la camera è posizionata all’interno del laboratorio, in atmosfera e a temperatura ambiente, è stata imposta una condizione di convezione naturale in prossimità delle sue superfici esterne. In particolare è stato scelto un valore per il coefficiente di convezione pari a 6 W/m²K ed un valore di riferimento per la temperatura dell’aria pari a 25 °C.

Per favorire la convergenza del metodo Radiosity Solver, le analisi numeriche sono state eseguite in regime transitorio [18]: come precedentemente accennato, la corrente elettrica è stata incrementata da 400 a 1000 A, definendo variazioni impulsive a gradino di 50 A, e lasciando successivamente il tempo al sistema di raggiungere l’equilibrio termico. I valori di temperatura considerati per ciascuno dei valori di corrente assegnati sono sempre stati valutati in condizioni stazionarie.

5. CONFRONTO FRA RISULTATI ANALITICI, NUMERICI, SPERIMENTALI, ED INFLUENZA DELLA TEMPERATURA DELLA CAMERA DA VUOTO

Le figure 6.a e 6.b mostrano il tubo in Tantalio e la prima finestra del target quando la temperatura è stabilizzata per un valore di corrente elettrica pari a 950A. La figura 6.c illustra la distribuzione di temperatura corrispondente calcolata dal modello agli Elementi Finiti.

Osservando la figura 8 è possibile apprezzare il confronto tra il modello analitico, il modello ad Elementi Finiti e le misure di temperatura sulla superficie laterale del tubo in Tantalio riportate in [5]. Si ricorda che il modello analitico è monodimensionale, dunque fornisce un singolo valore di temperatura rappresentativo dell’intera superficie laterale del cilindro in Tantalio per ogni valore di corrente elettrica impostato. Per quanto riguarda invece il modello numerico e le misure, il valore di temperatura monitorato è relativo ad un punto ben preciso della superficie cilindrica esterna del tubo, posizionato a metà della sua estensione assiale.

Entrambi i modelli (analitico e numerico) mostrano un’ottima corrispondenza con i dati sperimentali; la massima differenza tra il modello analitico e le misure di temperatura è stata registrata per 950 A di corrente elettrica e risulta essere pari a 16 °C; il modello numerico è invece in grado di predire il comportamento termico del tubo in Tantalio con differenze rispetto ai dati misurati variabili tra 22°C (950 A di corrente) e 40 °C (600 A di corrente). Anche i valori di differenza di potenziale misurati ai capi dei morsetti mostrano una buona corrispondenza con i dati ricavati dal modello agli Elementi Finiti [4, 5].

Per quanto riguarda gli effetti della temperatura della camera da vuoto, una accurata serie di analisi ha dimostrato [4, 5] una sostanziale indipendenza del campo di temperatura del target da quello della camera, fintanto che quest’ultima si mantiene complessivamente al di sotto dei 350°C. In particolare, non sono stati rilevati sostanziali cambiamenti del campo di temperatura a livello del target, passando per la camera da vuoto dalla condizione al contorno di convezione ad un vincolo di temperatura a 25 °C (compatibile con l’implementazione di un circuito di raffreddamento molto efficiente) (vedi figura 7). Poiché, per motivi tecnologici (legati prevalentemente a questioni di allineamento e di tenuta del vuoto), la camera viene raffreddata da un circuito ad acqua, dimensionato in modo tale da mantenerla complessivamente al di sotto dei 100°C, il suddetto problema risulta essere di limitata entità.

6. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE

In base a quanto sopra riportato, il modello numerico descritto al paragrafo 4 si ritiene validato dal punto di vista sia termico che elettrico. Si ritiene possibile quindi ottenere da tale modello un’importante serie di informazioni per lo sviluppo e l’ottimizzazione del target e degli apparati che lo supportano dal punto di vista funzionale [4,5].

Tale modello è stato impiegato, e verrà ulteriormente impiegato in futuro, per studiare in dettaglio l’effetto che più di tutti influenza il target dal punto di vista termico, ovvero la presenza del fascio protonico. Quest’ultimo dissipa all’incirca 8 kW a livello del target, portando i dischi in Carburo di Uranio a livelli di temperatura superiori ai 2000°C, ed inducendo importanti gradienti termici [4]. Questi ultimi devono essere tenuti sotto controllo per non compromettere l’integrità strutturale dei dischi stessi.

Il modello numerico descritto nei precedenti paragrafi verrà modificato ed arricchito anche per supportare il controllo dei transitori termici, per definire nel dettaglio le procedure di accensione e di spegnimento, programmando e sincronizzando con cura i carichi termici legati al fascio protonico e al sistema di riscaldamento elettrico.

BIBLIOGRAFIA

A. Andrighetto, C.M. Antonucci, S. Cevolani, C. Petrovich, M. Santana Leitner, “Multifoil UCx target for the SPES project – An update”, Eur. Phys. J. A, 30 (3), 591-601, 2006.

Jim Al-Khalili, Ernst Roeckl, The Euroschool Lectures on Physics with Exotic Beams, Vol. II, Springer Editions, 2006.

Walter H. Kohl, Handbook of materials and techniques for vacuum devices, American Institute of Physics, 1995.

M. Manzolaro, Study, design and test of the Target – Ion Source system for the INFN SPES facility, PhD thesis, University of Padova, 2011.

G. Meneghetti, M. Manzolaro and A. Andrighetto, “Thermal–electric numerical simulation of a target for the production of radioactive ion beams”, Finite Elem. Anal. Des., 47, 559-570, 2011.

P.D. Desai, T.K. Chu, H.M. James and C.Y. Ho, “Electrical Resistivity of Selected Elements”, J. Phys. Ref. Data, 13 (4), 1069-1096, 1984.

Y.S. Touloukian & D.P. DeWitt, Thermophysical Properties of Matter, v7, IFI/Plenum, 1970.

F. P. Incropera, D. P. Dewitt, T. L. Bergman, A. S. Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6th edition, Wiley, 2007.

R.A. Matula, “Electrical resistivity of copper, gold, palladium, and silver”, J. Phys. Ref. Data, 8 (4), 1147-1298, 1979.

Y.S. Touloukian, R.W. Powell, C.Y. Ho and P.G. Klemens, Thermophysical Properties of Matter, v1, IFI/Plenum, 1970.

L. Biasetto, M. Manzolaro and A. Andrighetto, “Emissivity measurements of opaque gray bodies up to 2000°C by a dual-frequency pyrometer”, Eur. Phys. J. A, 38, 167-171, 2008.

R.E. Taylor, F.E. Davis and R.W. Powell, “High Temperatures-High Pressures”, 1, 663, 1969.

Saint-Gobain Advanced Ceramics datasheet.

C.Y. Ho, M.W. Ackerman, K.Y. Wu, S.G. Oh and T.N. Havill, “Thermal conductivity of ten selected binary alloy systems”, J. Phys. Ref. Data, 7 (3), 959-1178, 1978.

M. F. Modest, Radiative Heat Transfer, 2nd edition, Elsevier Science, 2003.

R.E. Hogan and D.K. Gartling, “Solution strategies for coupled conduction/radiation problems”, Commun. Numer. Meth. Engng, 24, 523-542, 2008.

M.F. Cohen, D.P. Greenberg, “The Hemi-Cube: A Radiosity Solution for Complex Environments”, Computer Graphics, 19 (3), 31-40, 1985.

ANSYS® Thermal Analysis Guide

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