Quando le equazioni dell’elasticità progettano strutture
C. Tarisciotti, M. E. Biancolini Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”
L’ottimizzazione strutturale topologica sta divenendo una prassi sempre più consolidata nella progettazione architettonica ed ingegneristica. Il prototipo CT Version è il risultato di un processo di ottimizzazione eseguito nel rispetto dello stato tensionale, avvalorato dalla rivisitazione di un problema strutturale risolto brillantemente nel passato con il solo supporto teorico: il solaio a nervature isostatiche del Lanificio Gatti di Pier Luigi Nervi.
INTRODUZIONE
La disciplina dell’ottimizzazione topologica irrompe nel mondo della progettazione architettonica-ingegneristica a partire dall’inizio degli anni ’90, consentendo il raggiungimento, in modo totalmente o parzialmente automatico, dell’optimality di una soluzione progettuale, un’ottima conformazione e performance nel rispetto dei vincoli di progetto assegnati [3,4,5]. La capacità del metodo di non sottomettersi alla conservazione della topologia iniziale di una struttura, impedisce a priori la possibilità di indurre in errore il processo di ottimizzazione a causa di una semplice ma inesatta supposizione iniziale. Impostando infatti una forma di partenza grezza, la struttura può deformarsi e cambiare aspetto e dimensioni purché non si alteri nella sua natura. Tuttavia il difficile controllo sul processo di rimozione del materiale mostra il lato debole del procedimento: il raggiungimento di geometrie che siano effettivamente realizzabili, in particolar modo nei casi in cui sia già stata definita una specifica tecnologia costruttiva e realizzativa.
Il successo di un’attività di questo genere è legato alla combinazione di due fattori: la tecnologia del software a disposizione e la preparazione dell’ingegnere che deve condizionare in modo adeguato il problema matematico. Grazie agli innovativi strumenti tecnologici impiegati nella progettazione, caratterizzati da una notevole potenza e da interfacce grafiche di facile utilizzazione, è possibile avere a disposizione diverse implementazioni commerciali che, collegate a solutori FEM, guidano l’ottimizzazione topologica di modelli matematici; come il modulo TOSCA per il software FEMAP 10.3, utilizzato in questo studio per eseguire l’ottimizzazione topologica di un modello NASTRAN. Ruolo decisivo spetta all’ingegnere nel definire opportunamente tutte le condizioni necessarie per far si che le forme strutturali ottenute risultino corrette. Non si tratta di semplici automatismi bensì, per volontà del progettista, si possono istruire e guidare questi strumenti di calcolo coniugando la perfomance ottima delle costruzioni con dei criteri di semplicità ed eleganza architettonica, conducendo il loro processo di evoluzione in accordo con le specifiche sulla fattibilità dell’opera ben chiare. Su questo tema si è avviata una ricerca nell’ambito del progetto SIXXI “Twentieth Century Structural Engineering: the Italian Contribution” [7], rivisitando un caso alternativo di modus operandi nel campo dell’ottimizzazione strutturale, sviluppato nei primi anni ’50 su progetto di Pier Luigi Nervi: il solaio a nervature isostatiche del Lanificio Giuseppe Gatti.
Con gli stessi intenti, riesaminando la configurazione proposta da Nervi, sono state individuate due soluzioni alternative al medesimo problema strutturale, la prima lasciando maggiore libertà all’ottimizzatore, la seconda basata su un’idea preliminare di design. Considerando che è intercorso un periodo di circa 60 anni, gli odierni strumenti della tecnologia consentono di seguire un ragionamento alternativo: sulla base dell’ottimizzazione strutturale evolutiva basata su principi darwiniani, che seleziona le parti di materiale “più forti” e cancella quelle “più deboli”, ci siamo lasciati guidare verso forme ricavate dai calcolatori, sulle quali spetta a noi l’ultimo giudizio, basato sull’estetica e sulla correttezza strutturale.
Il primo prodotto, elaborato liberamente dal calcolatore, coincide con una soluzione banale per il problema statico proposto: un solaio a fungo, risolto con una composizione di quattro travi disposte a croce. Non contenti del risultato da un punto di vista progettuale, si è deciso di condurre il processo di ottimizzazione verso una direzione che condizionasse in modo adeguato il problema strutturale, secondo logiche simili a quelle impostate da Nervi ritenute architettonicamente e strutturalmente più soddisfacenti, con l’obiettivo di coniugare il “fascino architettonico” alla “diligenza statica”, ottenendo un nuovo prototipo, il CT Version.
IL SOLAIO A NERVATURE ISOSTATICHE
Costruito a Roma nel 1951 lungo la via Prenestina, il solaio a nervature isostatiche del Lanificio Gatti, progettato dall’Ing. Pier Luigi Nervi, rappresenta un originale esempio di ottimizzazione topologica, reso possibile dalla combinazione di approfonditi studi teorici con un innovativo procedimento costruttivo, la prefabbricazione strutturale.
Apparentemente decorative, le nervature seguono l’andamento delle linee isostatiche di flessione, ossia le traiettorie delle tensioni principali [1] o linee di inviluppo delle direzioni principali (Fig. 1). Per questa proprietà, secondo il brevetto depositato dalla società di costruzioni di Nervi, “se ad un corpo continuo si sostituisse una struttura filamentosa, con le fibre disposte secondo le linee isostatiche, […] il comportamento di tale corpo, per le date forze esterne, è identico a quello del corpo continuo […] ottenendo una notevole economia di materiali senza modificare il giuoco delle forze interne” [2]. L’indiscutibile eccellenza del risultato ottenuto è strettamente legata all’impiego di una versione “geneticamente modificata” [6] del calcestruzzo armato, il ferrocemento, la chiave di lettura della prefabbricazione strutturale, tecnica basata sulla scomposizione in piccole parti, leggere ma allo stesso tempo resistenti per forma, della struttura portante, rese solidali in opera da un successivo getto. Esempio emblematico del rapporto tra “struttura e natura, tra struttura ed estetica, tra struttura e forma” [6], il solaio si presenta suddiviso in campate quadrate di appena 5 metri di lato.
Per eseguire uno studio del comportamento meccanico strutturale mediante un modello agli elementi finiti, la campata di base è stata schematizzata staticamente come un solaio a fungo, libero sul bordo e sorretto da un pilastro centrale, di cui è stata considerata solo la quarta parte, per via della simmetria. Definita la geometria, le proprietà del materiale, le condizioni di vincolo e di carico si è creata una mesh ad elementi tetraedrici parabolici (Fig. 2). L’esecuzione di un’analisi statica sul modello FEM ha riportato un abbassamento dell’estremo libero pari a 2.04 mm ed un valore massimo della tensione, in corrispondenza del pilastro, pari a 8.3 MPa (Fig. 3).
LA SPERIMENTAZIONE
Lo studio sopra riportato diviene il punto di partenza dell’indagine condotta sui moderni processi di ottimizzazione topologica. La prima conseguenza si lega alla decisione di operare su un corpo bidimensionale per ricavare innumerevoli vantaggi rispetto ad una trattazione tridimensionale, difficile da gestire nella fase di rimozione del materiale. Simultaneamente alle disposizioni operative l’utilizzatore deve escogitare una serie di semplificazioni necessarie ad affrontare le restrizioni settate all’interno dei moderni programmi, conseguenza della volontà di conservare una semplice configurazione per la gestione dei processi. Nella fase esecutiva del metodo una limitazione è associata alla schematizzazione delle condizioni di carico e vincolo. L’implementazione dell’ottimizzatore, codifica quest’ultime come degli ostacoli all’operazione di rimozione del materiale, scartando tutte le superfici su cui essi insistono. Cosicché, se nella struttura di Nervi il carico era uniformemente distribuito sulla soletta di calpestio, nella sperimentazione si è avviata una ricerca verso una condizione di carico che fosse equivalente ovvero in grado di riprodurre lo stesso andamento delle tensioni di Von Mises. Con la consapevolezza che le travi di bordo si dovessero conservare per ragioni costruttive, si è deciso di concentrare su di esse l’equivalente del carico uniformemente distribuito. Per successione si è proseguito alla suddivisione del ¼ di piastra in porzioni radiali concentriche nel pilastro, al calcolo della risultante per ciascuna area e alla traslazione della forza dal baricentro al bordo aggiungendo le rispettive coppie di trasporto, l’una di flessione e l’altra di torsione per la piastra (Fig. 4).
Le nuove forze e coppie concentrate, applicate sugli estremi liberi, sono state redistribuite per unità di lunghezza sull’intera estensione dei bordi, verificando che l’andamento delle tensioni, nel solaio a nervature isostatiche, corrispondesse a quello della situazione originaria. Si è quindi intrapresa l’operazione di ottimizzazione topologica settando nell’ottimizzatore una iterativa rimozione del materiale con una percentuale crescente dal 30% al 70% del volume complessivo, e “congelando” (Fig. 5) dall’evoluzione le travi di bordo e la superficie di appoggio del pilastro (Fig. 6).
Il prototipo ottenuto rappresenta la soluzione statica-strutturale più intuitiva: un sistema di quattro travi disposte a croce. Lo studio del comportamento meccanico, avvenuto tramite un modello FEM riporta uno spostamento dell’estremo libero pari a 2.54 mm ed un andamento delle tensioni come riportato nella Fig. 7, con un valore di picco pari a 9.8 MPa. Volendo ottenere una soluzione esteticamente più gradevole si è deciso di guidare l’ottimizzazione ribadendo il concetto delle linee isostatiche di flessione, simbolo della “correttezza strutturale”.
In questo caso si è estesa la zona non modificabile dall’ottimizzatore (Fig. 8) congelando tre fasce disposte secondo la direzione di tre linee isostatiche, una ortogonale alle altre. Al termine del procedimento di ottimizzazione è risultato un prototipo, il CT Version, che rivisitato geometricamente in alcune sue parti, rappresenta un’alternativa allo schema statico proposto (Fig. 9). Analizzato il suo comportamento meccanico con un modello agli elementi finiti, ne risulta uno spostamento dell’estremo libero pari a 2.78 mm e un valore massimo della tensione uguale a 10 MPa (Fig. 10).
CONCLUSIONI
Nello studio presentato sono state esaminate in modo molto accurato tre possibili soluzioni dello stesso problema strutturale, il solaio a fungo (tabella 1). La prima delle tre soluzioni, punto di partenza e di riferimento della ricerca, è il solaio a travature isostatiche del Nervi. Le altre due soluzioni sono state ottenute avvalendosi dell’ottimizzazione topologica; la seconda è stata generata automaticamente dall’ottimizzatore imponendo la correttezza funzionale della struttura; la terza (CT Version) è stata ottenuta guidando l’ottimizzatore verso una forma di maggiore interesse estetico generata intorno a tre curve isostatiche.
È interessante osservare come le tre soluzioni siano pressoché equivalenti dal punto di vista delle prestazioni (peso, sollecitazioni agenti e deformablità). Si è dimostrato come l’impiego di strumenti sempre più specializzati possa assumere un ruolo di valido ausilio e supporto alla progettazione, senza prevaricare le scelte estetiche del progettista, confermando che l’ottimizzazione topologica possa essere la nuova frontiera della progettazione strutturale.
BIBLIOGRAFIA
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Brevetto N° 455678, Ingg. Nervi & Bartoli Anonima per Costruzioni a Roma che ha designato quale autore dell’invenzione Aldo Arcangeli, Perfezionamento nella costruzione di solai, volte, cupole, travi-parete e strutture portanti in genere a due o tre dimensioni, con disposizione delle nervature resistenti lungo le linee isostatiche dei momenti o degli sforzi normali, data del deposito 23 luglio 1949, data della concessione 9 marzo 1950;
Y.M. XIE e G.P. STEVEN, A simple evolutionary procedure for structural optimization, in “Computers & Structures”, 5, 1993, pp. 885-896;
C. CUI, H. OHMORI e M. SASAKI, Computational Morphogenesis of 3D Structures by Extended ESO Method, in “Journal of the International Association for Shell and Spatial Structures, 141, 2003, pp. 51-61;
A. PUGNALE, Engineering Architecture: Advances of a technological practice, tesi di dottorato, Politecnico di Torino, Torino 2010;
T. IORI, Le plancher à nervures isostatiques de Nervi, in R. GARGIANI (a cura di), L’architrave le plancher la plate-forme: Nouvelle histoire de la construction, Presses Polytechniques et Universitaires romandes, Losanna 2012, pp. 755-760;
FP7-IDEAS-ERC project SIXXI “Twentieth Century Structural Engineering: the Italian contribution” - assegnato al prof. Sergio Poretti (http://www.tulliaiori.com/SIXXI/).